Тема 4. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ.
Финансовая рента или аннуитет –это однонаправленный денежный поток с равными временными интервалами.
Финансовая рента характеризуется следующими параметрами:
R – величинагодового платежа;
n – срок ренты, лет;
i или j – годовые сложные процентные ставки, используемые для наращения ренты или дисконтирования платежей;
m – частота начисления процентов в году;
p – число рентных платежей в году;
S – наращенная сумма ренты, т.е. сумма всех платежей с начисленными на них процентами на конец срока ренты;
A – современная величина ренты (приведенная стоимость), т.е. сумма всех платежей, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени (как правило, на начало ренты).
Таблица 4.1 – Определение наращенной суммы и современной стоимости
постоянной ренты постнумерандо
| Число платежей в году | Число начисления процентов в году | Наращенная сумма | Современная стоимость |
| p=1 | m=1 |  (4.1)
|  (4.2)
|
| m>1 |  (4.3)
|  (4.4)
| |
m 
|  (4.5)
|  (4.6)
| |
| Продолжение таблицы 4.1 | |||
| Число платежей в году | Число начисления процентов в году | Наращенная сумма | Современная стоимость |
| p>1 | m=1 |  (4.7)
|  (4.8)
|
| m=p |  (4.9)
|  (4.10)
| |
| m¹p |  (4.11)
| 
(4.12)
| |
| m
|  (4.13)
|   (4.14)
|
При разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик – S или A, а необходимо рассчитать значение недостающего параметра.
Таблица 4.2 – Расчет величины годового платежа постоянных рент
постнумерандо
| Число платежей в году | Частота начисления процентов в году | Исходные параметры | |
| S | A | ||
| p=1 | m=1 |  (4.15)
|  (4.16)
|
| m>1 |  (4.17)
|  (4.18)
| |
| m
|  (4.19)
|  (4.20)
| |
| Продолжение таблицы 4.2 | |||
| Число платежей в году | Частота начисления процентов в году | Исходные параметры | |
| S | A | ||
| p>1 | m=1 |  (4.21)
|  (4.22)
|
| m=p |  (4.23)
|  (4.24)
| |
| m¹p |  (4.25)
| 
(4.26)
| |
| m
|  (4.27)
|  (4.28)
|
В случае согласования остальных параметров финансовой сделки срок ренты можно рассчитать с помощью величины наращенной суммы или современной стоимости ренты.
Таблица 4.3 – Расчет срока постоянных рент постнумерандо
| Число платежей в году | Число начислений процентов в году | Исходные параметры | |
| S | A | ||
| p=1 | m=1 |  (4.29)
|  (4.30)
|
| m>1 | 
(4.31)
| 
(4.32)
| |
| m
|  (4.33)
|  (4.34)
| |
| Число платежей в году | Число начислений процентов в году | Исходные параметры | |
| S | A | ||
| p>1 | m=1 | 
(4.35)
| 
(4.36)
|
| m=p |  (4.37)
|  (4.38)
| |
| m¹p | 
(4.39)
| 
(4.40)
| |
| m
|  (4.41)
| 
(4.42)
|
При расчете срока ренты нужно принять во внимание следующее:
а) расчетные значения срока будут, как правило, дробные, тогда для годовой ренты в качестве n удобно принять ближайшее целое число лет;
б) в связи с округлением величины n до целого значения необходимо пересчитать величину годового рентного платежа R с тем, чтобы наращенная сумма (или современная стоимость) ренты осталась неизменной.
Величину процентной ставки ренты определяют обычно методом линейной интерполяции следующим образом:
а) при известных величинах наращенной суммы ренты S, годового платежа R и коэффициента наращения ренты 
, (4.43)
где 
и 
– нижнее и верхнее значения предполагаемой процентной ставки;
и 
– нижнее и верхнее значения коэффициентов наращения
ренты для ставок 
и 
;
б) при известных величинах современной стоимости ренты A, годового платежа R и коэффициента приведения ренты 
, (4.44)
где 
и 
– значения коэффициентов приведения ренты для ставок 
и 
.
При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще всего используются сложные проценты. Однако существуют рентные платежи, в которых начисление производится по ставкам простых процентов, при этом наращенная сумма и современная стоимость ренты определяются по формулам:
; (4.45)
, (4.46)
где p – число рентных платежей в году.
Таблица 4.4 – Определение наращенной суммы и современной стоимости
ренты пренумерандо
| Число платежей в году | Частота начислений процентов в году | Наращенная сумма | Современная стоимость |
| p=1 | m=1 |  (4.47)
|  (4.48)
|
| m>1 | 
(4.49)
| 
(4.50)
| |
| m
|  (4.51)
|
 (4.52)
| |
| Число платежей в году | Частота начислений процентов в году | Наращенная сумма | Современная стоимость |
| p>1 | m=1 | 
(4.53)
| 
(4.54)
|
| m=p |  (4.55)
|  (4.56)
| |
| m¹p | 
(4.57)
| 
(4.58)
| |
| m
|  (4.59)
|  (4.60)
|
Пример 4.1 Фирма создает инвестиционный фонд. В течение 5 лет в фонд вносятся платежи в размере 75000 руб. в год под 12% годовых. Найти величину инвестиционного фонда через 5 лет, если: 1) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются один раз в году; 2) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются ежеквартально; 3) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются один раз в году; 4) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются по полугодиям; 5) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются ежеквартально.
Решение. По формулам (4.1), (4.3), (4.7), (4.9), (4.11) находим величину наращенной суммы ренты постнумерандо.
1) p=1, m=1,
руб.;
2)p=1, m=4,
руб.;
3) p=2, m=1,
руб.;
4) p=2, m=2,
руб.;
5) p=2, m=4,
руб.
Пример 4.2 Фирма предусматривает создание в течение 4-х лет фонда развития и имеет возможность вносить ежегодно 34700 руб. под 8% годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме изначально для создания фонда, если бы она поместила ее в банк на 4 года под 8% годовых, если: 1) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются один раз в году; 2) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются ежеквартально; 3) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются один раз в году; 4) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются по полугодиям; 5) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются ежеквартально.
Решение. Найдем современную величину ренты постнумерандо, используя формулы (4.2), (4.4), (4.8), (4.10), (4.12).
1) p=1, m=1,
руб.;
2)p=1, m=4,
руб.; 
3) p=2, m=1,
руб.;
4) p=2, m=2,
руб.;
5) p=2, m=4, 
руб.
Пример 4.3 Какой срок необходим для накопления 400 тыс. руб., если ежеквартально будет вноситься 10 тыс. руб. под 12 % годовых при ежегодном начислении процентов?
Решение. Так как величина наращенной суммы S=400 тыс. руб., число начислений процентов в году m = 1, рентные платежи вносятся ежеквартально (p=4), а R-величина годового взноса составляет 
=40 000 руб. то по формуле (4.35)
лет.
Вследствие округления срока ренты необходимо пересчитать величину годового взноса по формуле (4.21)
руб.,
.
Таким образом, ежеквартально необходимо вносить 11803,93 руб.