Электростатика

1. Два шарика одинакового объёма, обладающие массой 0,6 ∙ 10 ^{-3 г каждый, подвешены на шелковых нитях длиной 0,4 м так, что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись ни­ти при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен 60°. Найти величину зарядов и силу электрического отталкивания.}

Дано: т = 0,6 ·10 ^{-3 г} = 6 · 10 ^{-7 кг;} l = 0,4 м; α = 60°; q₁ = q₂ = q.

Найти: q, F_э.

Решение. В результате электроста­тического отталкивания с силой F_э за­ряды разойдутся на расстояние r = l, так как α = 60⁰. Как видно из рис. 1, сила F_э будет уравновешена механической силой F_м, равной (1)

Рис. 1 По закону Кулона (2)

Учитывая, что F_э = F_м , приравняем правые части формул (1) и (2) получим : (3)

Из формулы (3) выразим заряд Сделаем подстановку числовых данных в полученную формулу:

.

Для нахождения силы отталкивания подставим найденное значение заряда в формулу (2).

 

2. В элементарной теории атома водорода принимают, что элект­рон вращается вокруг протона по окружности. Какова скорость вра­щения электрона, если радиус орбиты 0,53 · 10 ^{-10 м?}

Дано: q = 1,6 · 10 ^-19 Кл; r = 0,53 · 10 ^{-10 м; т = 9,1 · 10 -31 кг.}

Найти: u.

Решение. Сила электрического взаимодействия электрона с ядром (протоном) атома водорода определяется по закону Ку­лона:

(1)

где q — заряд электрона и протона,

r — радиус орбиты — рас­стояние между электроном и протоном,

e₀ — электрическая постоянная.

Центростремительная сила F_ц ,определяющая вращение электрона по круговой орбите, имеет выражение : и численно равна силе электрического взаимодействия F_э. Приравнивая F_ц= F_э,получим: (2)

Из формулы (2) выразим скорость электрона (3) Подставим числовые значения в формулу (3), получим:

 

3. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены заряды по 0,1 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в центре квадрата, если один из зарядов отличается по знаку от остальных.

Дано:q₁= 0,1∙10^-9 Кл; q₂ = q₃ = q₄ = -0,1∙10^-9 Кл; а = 0,1 м.

Найти:Е, φ.

Решение. Напряженность Е поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих зарядов: В данной задаче

Как видно из рис. 2, E₂ = E₃ и их векторная сумма равна нулю, тогда результирующее поле определяется по формуле:

а так как E₁ = E₄, то E = 2E₁ или

где ε — диэлектрическая проницаемость (для воздуха ε = 1), — расстояние от центра квадрата до заряда

Рис. 2

Потенциал φ поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов φ_i полей, создаваемых каждым из i зарядов: .

В условиях данной задачи Заряды 1 и 2 имеют противоположные знаки, поэтому алгебраическая сумма потенциалов от этих зарядов в центре квадрата равна нулю.

Тогда: а так как φ₃ = φ₄ , то φ = 2φ₃ .

4. Электрон движется по направлению силовых линий одно­родного поля напряженностью 2,4 В/м. Какое расстояние он проле­тит в вакууме до полной остановки, если его начальная скорость 2 · 10⁶ м/с? Сколько времени будет длиться полет?

Дано: E = 2,4 В/м; υ₀ = 2 · 10⁶ м/с; q = 1,6 · 10^-19 Кл; m = 9,1 · 10^{-31 кг;}

υ_к= 0.

Найти: s, t.

Решение. На электрон в электрическом поле действует си­ла F = qE, направленная навстречу его движению. По второму закону Ньютона, ускорение электрона под действием силы F равно: (1)

С другой стороны, ускорение а равно: (2)

Приравнивая формулы (1) и (2), определим время t до полной остановки электрона:

За это время электрон пройдет путь s, равный

5. Определить поток вектора напряженности электрического по­ля сквозь замкнутую шаровую поверхность, внутри которой нахо­дятся три точечных заряда +2, -3 и +5 нКл.

Дано: q_l = +2 · 10^-9 Кл; q₂ = -3 · 10^-9 Кл; q₃ = +5 · 10^-9 Кл; ε₁ = 1.

Найти: Ф_Е.

Решение. В общем случае поток вектора напряженности Ф_E сквозь поверхность S равен : где Е_п — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности, .

Для шаровой поверхности, в центре которой помещен то­чечный заряд,

α = 0, cos α = 1 и Е_п = Е. Вкаждой точке шаро­вой поверхности Е — величина постоянная и определяется по формуле: (1)

Тогда поток вектора напряженности Ф_Е сквозь шаровую поверхность будет иметь вид: . (2)

Подставляя (1) в (2), после преобразований для одного то­чечного заряда получаем . На основании теоремы Остроградского—Гаусса для системы зарядов полный поток век­тора напряженности сквозь замкнутую поверхность произ­вольной (в том числе шаровой) формы равен

(3)

Подставим в (3) числовые значения и получим:

.

 

7. Электрическое поле создается тонкой, бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда 10^-10 Кл/м. Определить поток вектора напряженности через ци­линдрическую поверхность длиной 2 м, ось которой совпадает с нитью.

Дано: τ = 10^-10 Кл/м; l = 2 м.

Найти: Ф_Е.

Решение. Нить длиной l с линейной плотностью заряда τ содержит заряд q = τl. Линии напряженности направлены по нормали к нити по всевозможным направлениям и будут про­низывать только боковую поверхность цилиндра. В соответст­вии с теоремой Остроградского - Гаусса, поток Ф_Е вектора на­пряженности сквозь замкнутую поверхность равен:

Следовательно:

8. Заряд 1 · 10^-9 Кл переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности заряженного шара ра­диусом 9 см. Поверхностная плотность заряда шара равна 1 · 10^-4 Кл/м². Определить совершаемую при этом работу.

Дано: q = 10^-9 Кл; σ = 10^-4 Кл/м²; R = 9 см = 0,09 м; r = 1 см = 0,01 м ;

R = 9 см = 0,09 м.

Найти: A

Решение. Работа внешней силы А по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ₁ в другую точку с потенциа­лом φ ₂ равна по абсолютной величине, но противоположна по знаку работе А^´ сил поля по перемещению заряда между эти­ми точками поля, т. е. А= - А^´. Работа сил электрического поля определяется по формуле .

Тогда : (1)

где φ₁ — потенциал поля в начальной точке;

φ₂ — потенциал поля в ко­нечной точке.

Потенциал, создаваемый заряженным шаром радиусом R в точке на расстоянии r от его поверхности, определяется по формуле

(2)

где — заряд шара.

Потенциал φ₁ в бесконечно удаленной точке (при r = ¥) будет равен нулю. Потенциал φ₂ из (2) подставим в (1) и после преобразований получим

(3)

Подставляя числовые значения в (3), получаем:

9. В поле бесконечной, равномерно заряженной плоскости с по­верхностной плотностью заряда 10 мкКл/м² перемещается заряд из точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от плоскости, в точку на расстоянии 0,5 м от нее. Определить заряд, если при этом соверша­ется работа 1 мДж.

Дано: σ = 10^-5 Кл/м²; r₁ = 0,5 м; r₂ = 0,1 м; А = 10^-3 Дж.

Найти: q.

Решение. Напряженность поля Е, создаваемая заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ, равна:

а на заряд q со стороны поля действует сила

Работа этой силы на пути dr будет равна dA = Fdr, а на пути от r₁ до r₂

Отсюда:

10. Какую работу надо совершить, чтобы заряды 1 и 2 нКл, нахо­дящиеся в воздухе на расстоянии 0,5 м, сблизить до 0,1 м?

Дано: q₁ = 10^-9 Кл; q₂ = 2 · 10^-9 Кл; r₁ = 0,5 м; r₂ = 0,1 м.

Найти: A

Решение. Работа А по перемещению заряда q₁в поле, со­зданном зарядом q₂,определяется по формуле ,

где φ₂ и φ₁ — потенциал поля, созданного зарядом q₂ в соответ­ствующих точках на расстоянии r₂ и r₁ от него:

 

11.Конденсатор с парафиновым диэлектриком заряжен до раз­ности потенциалов 150 В. Напряженность поля в нем 6 · 10⁶ В/м. Площадь пластин 6 см². Определить ёмкость конденсатора и поверх­ностную плотность заряда на обкладках (ε = 2).

Дано: U = 150 В; Е = 6 · 10⁶ В/м; S = 6 · 10^{-4 м2}; ε = 2.

Найти: С, σ.

Решение. В плоском конденсаторе напряженность поля равна: . Отсюда :

Ёмкость плоского конденсатора равна: .

Учитывая, что в плоском конденсаторе разность потенциа­лов U и напряженность Е связаны соотношением , где d — зазор между обкладками, то выражая d, получим: . Выражение для ёмкости конденсатора запишется в виде

12. Вычислить ёмкость батареи, состоящей из трех конденсаторов ёмкостью 1 мкФ каждый, при всех возможных случаях их соеди­нения.

Дано: С₁ = С₂ = С₃ = 1 · 10^-6 Ф, п = 3.

Найти: С_б.

Решение. Ёмкость батареи конденсаторов вычисляется по формулам:

— при параллельном соединении,

— при последовательном.

При наличии трех конденсаторов одинаковой ёмкости воз­можны следующие схемы соединений:

1) параллельное соединение (рис. 3, а):

С_б = С₁ + С₂ + С₃ = 3 (мкФ);

2) последовательное соединение (рис. 3, б):

3) комбинированное соединение по схеме

(рис. 3, г):

Рис. 3

4) комбинированное соединение по схеме рис. 3,в

 

14. Конденсатор ёмкостью 16 мкФ последовательно соединен с конденсатором неизвестной ёмкости, и они подключены к источ­нику постоянного напряжения 12 В. Определить ёмкость второго конденсатора, если заряд батареи 24 мкКл.

Дано: С₁ = 16 мкФ = 1,6 · 10^-5 Ф; U = 12 В; q = 24 · 10^-6 Кл.

Найти: С₂.

Решение. При последовательном соединении конденсаторов заряд каждого конденсатора равен заряду батареи. Напряжение U, заряд q, ёмкость конденсатора С связаны соотношением . Тогда

При последовательном соединении напряжение U на бата­рее равно

а ёмкость .

15.Два конденсатора заряжены один до напря­жения 100 В, а другой до 200 В. Определить напряжение между обкладками конденсатора, если они соединены параллельно одноименно заряженными обкладками; разноименно заряженными обкладками.

Дано: U₁= 100 В; U₂= 200 В.

Найти: U', U".

Решение. Напряжение U, заряд q и ёмкость С конденсато­ров связаны соотношением q = CU;тогда q₁ = C₁U₁; q₂ = C₂U₂. При соединении конденсаторов одноименно заряженными обкладками заряд батареи

емкость: напряжение:

;

При соединении конденсаторов разноименно заряженными обкладками заряд батареи ёмкость и напряжение : .

Тогда:

 

16. Со скоростью 2 · 10⁷ м/с электрон влетает в пространство меж­ду обкладками плоского конденсатора в середине зазора в направле­нии, параллельном обкладкам. При какой минимальной разности потенциалов на обкладках электрон не вылетит из конденсатора, если длина конденсатора 10 см, а расстояние между его обкладками 1 см?

Дано: υ = 2 · 10⁷ м/с; l = 0,1 м; d = 0,01 м.

Найти: U.

Решение. На электрон, влетающий в поле конденсатора со стороны поля Е в направлении, перпендикулярном обкладкам, будет действовать сила F = qE, где q — заряд, — напряженность электрического поля конденсатора, U — разность потенциалов, d — зазор между обкладками конденсатора (рис. 4). Рис. 4

Под действием силы F элект­рон приобретает ускорение а, равное , и, двигаясь с этим ускорением, пройдет путь

Чтобы электрон не «упал» на нижнюю пластину конденса­тора, время его полета t между обкладками должно быть . Учитывая это и второй закон Ньютона, получим:

отсюда:

 

17. Найти, как изменятся электроёмкость и энергия плоского воз-

душного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конден­сатора и пластины 150 см², расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.

Дано: ε = 1; d₀ = 10^{-3 м;} S = 1,5 · 10^{-2 м2}; d = 6 · 10^{-3 м;} U = 400 В.

Найти: ΔC, ΔW_э.

Решение. Ёмкость и энергия конденсатора при внесении в него металлической пластины изменятся. Это вызвано тем, что при внесении металлической пластины уменьшается рас­стояние между пластинами от d до (рис. 5). Используем формулу электроёмкос­ти плоского конденсатора: (1)

где S — площадь обкладки; d — расстояние между обкладками. Рис.5

В данном случае получим, что изменение электроёмкости конденсатора равно:

Подставив числовые значения, получим:

Так как электрическое поле в плоском конденсаторе одно­родно, плотность энергии ( ) во всех его точках одинакова и равна: (2)

где Е — напряженность поля между обкладками конденсато­ра. При внесении металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля осталась неизменной, а объ­ём электрического поля уменьшился на

.

Следовательно, изменение энергии (конечное значение ее меньше начального) произошло вследствие уменьшения объ­ёма поля конденсатора:

. (3)

Напряженность поля Е определяется через градиент потен­циала:

. (4)

Формула (3) с учетом (4) принимает вид: (5)

Подставляя числовые значения в формулу (5), получаем

18. Заряд конденсатора 1 мкКл, площадь пластин 100 см², зазор между пластинками заполнен слюдой. Определить объёмную плот­ность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин.

Дано: Q = 10^-6 Кл; S = 10^{-2 м2}; ε = 6.

Найти: ω, F.

Решение. Сила притяжения между двумя разноименно за­ряженными обкладками конденсатора равна: , (1)

где Е — напряженность поля конденсатора;

S — площадь обкладок конденсатора.

Напряженность однородного поля плоского конденсатора , (2)

где — поверхностная плотность заряда.

Подставляя (2) в (1), рассчитаем F: ; .

 

Объёмная плотность энергии электрического поля . (3)

Подставляя (2) в (3), получим: ;

.