Изучение вынужденных электрических колебаний

Лабораторная работа № 36

 

Цель работы: Исследование изменений амплитуды вынужденных колебаний в электромагнитном колебательном контуре в зависимости от частоты переменного напряжения, приложенного к контуру, а также параметров контура: сопротивления, индуктивности, емкости.

Приборы и принадлежности

В состав лабораторной установки входит:

1. Осциллограф С1-83 (или С1-93).

2. Генератор сигналов низкочастотный Г-112.

3. Панель «Затухающие электрические колебания. Резонанс».

4. Соединительные провода.

 

1. Теоретическое введение

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием источника тока с периодически изменяющимся напряжением, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник обеспечивает приток энергии к системе, компенсируя тем самым ее неизбежные потери.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрический контур, в котором возможны собственные свободные колебания напряжения с частотой ω0.

Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте ω внешнего источника, тогда как частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического внешнего напряжения, называются цепями переменного тока.

Рис. 1. Вынужденные колебания в контуре.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону (рис.1):

 

(t) = 0 cos ωt,  

где 0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому закон Ома можно записать для мгновенных значений токов и напряжений:

(1)

В общем случае получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q(t) в RLC - контуре при действии внешней ЭДС в виде:

(2)

Используя обозначения и , приводим уравнение (2) к виду:

(3)

Решение данного неоднородного дифференциального уравнения показывает, что при установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора изменяется гармонически с частотой ω, а его амплитуда qm и начальная фаза φ0 находятся по формулам:

(4)

Амплитуда напряжения на конденсаторе , следовательно

(5)

Графики зависимости называются резонансными кривыми колебательного контура, которые представлены на рис. 2. Достижение амплитудой вынужденных колебаний напряжения своего максимального значения при некоторой частоте внешней ЭДС называетсярезонансом(резонансом напряжения).

Частота колебаний внешней ЭДС, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, называется резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследуя функцию (5) на экстремум, то есть, приравняв к нулю производную и решив полученное уравнение относительно частоты. В итоге получим, что резонансная частота равна:

(6)

Соответствующее максимальное (резонансное) значение амплитуды вынужденных колебаний напряжения получим, подставляя выражение (6) в уравнение (5) и упрощая полученное выражение:

(7)

При резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз превосходят внешнее напряжение. Вследствие явления электрического резонанса контур сильнее всего реагирует на ЭДС, частота которой равна или близка к резонансной частоте контура. На этом явлении основаны все радиоприемные устройства, неотъемлемой частью которых является колебательный контур, резонансная частота которого может изменяться путем изменения его емкости или индуктивности

Рис. 2. Амплитудные резонансные кривые при различных коэффициентах затухания

Легко видеть, что влияние на колебательный контур внешних ЭДС, частоты которых отличны от будет тем слабее, чем «острее» резонансная кривая для контура, то есть чем «резче» зависимость напряжения на конденсаторе от частоты. «Остроту» резонансной кривой можно охарактеризовать с помощью относительной ширины этой кривой, равной , где - разность значений и циклических частот, при которых амплитуда вынужденных колебаний в раз меньше резонансной амплитуды (рис.2). Можно показать, что разность этих частот, называемая шириной резонансной кривой, при малом затухании, при котором выполняется условие R или , равна . Это свойство позволяет определитькоэффициент затухания какполуширину резонансной кривой:

(8)

Для характеристики затухания колебаний в контуре вводится величина, называемая добротностью. Добротностьюколебательной системы называется безразмерная физическая величина, равная произведению на отношение энергии, подведенной к контуру, к потере энергии в контуре ΔW за один период колебаний Т:

Добротность электрического колебательного контура определяется как отношение волнового сопротивления контура к его электрическому сопротивлению:

(9)

Можно показать, что при малом затухании относительная ширина резонансной кривой есть величина, обратная добротности контура:

или (10)

Формула (7) при малом затухании преобразуется к виду

(11)

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рис.3. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q.

Рис. 3 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды UC напряжения на конденсаторе к амплитуде 0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 3 называются резонансными кривыми.

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот относительно собственной частоты контура. «Острота» резонансной кривой сильно зависит от энергетических потерь в контуре. При увеличении активного сопротивления контура резонансная кривая становится менее «острой».