Теоретическое обоснование работы
Пусть диск массы т подвешен в горизонтальном положении на трех нитях, как показано на рис. 6.1. При повороте диска на угол φ вокруг вертикальной оси OZ , проходящей через центр диска, нити подвески отклоняются от вертикали на угол а. Соответственно на этот же угол отклоняются силы реакции 6 подвески диска (на рис. 6.1 показана только одна сила реакции).
' mg
Рис. 6.1. Схема трифилярного подвеса тела для определения момента инерции.
Разложим силы реакции S на горизонтальные Sr и вертикальные SB составляющие. Из рис. 6.1 не трудно установить, что они определяются по соответствующим формулам:
Sr = Ssina, (6.1)
SB = S cos a. (6.2)
Составив уравнение равновесия сил, действующих на диск по оси OZ, получим:
3 S cos а - mg = О Откуда
Или
( (6.3)
Примем при малом угле φ поворота диска
(6.4)
(здесь а - расстояние от центра диска до точки крепления нити подвески, £ - длина нити подвески). Тогда выражение (6.3) примет вид:
В этом выражении величиной можно пренебрегать ввиду малости, то окончательно получим:
3 S ≈ mg
Горизонтальные составляющие Sr реакции подвески создают момент, вращающий диск относительно оси OZ:
М, = -3Sra
(здесь знак "-" берется потому, что этот момент всегда стремится вращать диск в сторону устойчивого равновесия).
Отсюда, учитывая выражения (6.1), (6.4) и (6.5), получим
M2 = mg cos
(6.6)
Ввиду малости q> примем cos φ/2 = l. Тогда выражение (6.6) примет окончательный вид:
Mz=-mg
Под действием этого момента свободно отпущенный диск начинает совершать крутильные колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний записывается в виде:
Отсюда после преобразований получим:
Введем обозначение к2 = mga2/Jzl Тогда выражение (6.7)при-мет вид:
где к - круговая частота крутильных колебаний диска.
С другой сторона круговая частота колебания выражается черев период колебаний Г в виде :
к=
Тогда справедливо равенство:
Откуда момент инерции диска ,
Боли положить на диск исследуемый груз массой mr так, чтобы его центр масс также лежал на оси OZ, то момент инерции диска с грузом определяется аналогично:
--------- (6-9)
где Т - период крутильных колебаний диска с грузом. Затем можно вычислить момент инерции груза по формуле:
J =J,z-Jz (6.10)