Теоретическое обоснование работы

Пусть диск массы т подвешен в горизонтальном положении на трех нитях, как показано на рис. 6.1. При повороте диска на угол φ вокруг вертикальной оси OZ , проходящей через центр диска, нити подвески отклоняются от вертикали на угол а. Соот­ветственно на этот же угол отклоняются силы реакции 6 подвес­ки диска (на рис. 6.1 показана только одна сила реакции).

 

' mg

Рис. 6.1. Схема трифилярного подвеса тела для определения мо­мента инерции.

Разложим силы реакции S на горизонтальные Sr и верти­кальные SB составляющие. Из рис. 6.1 не трудно установить, что они определяются по соответствующим формулам:

Sr = Ssina, (6.1)

SB = S cos a. (6.2)

 

 

Составив уравнение равновесия сил, действующих на диск по оси OZ, получим:

3 S cos а - mg = О Откуда

Или

( (6.3)

Примем при малом угле φ поворота диска

(6.4)

(здесь а - расстояние от центра диска до точки крепления ни­ти подвески, £ - длина нити подвески). Тогда выражение (6.3) примет вид:

В этом выражении величиной можно пренебрегать ввиду малости, то окончательно получим:

3 S ≈ mg

Горизонтальные составляющие Sr реакции подвески создают момент, вращающий диск относительно оси OZ:

М, = -3Sra

(здесь знак "-" берется потому, что этот момент всегда стре­мится вращать диск в сторону устойчивого равновесия).

Отсюда, учитывая выражения (6.1), (6.4) и (6.5), получим

M2 = mg cos (6.6)

Ввиду малости q> примем cos φ/2 = l. Тогда выражение (6.6) примет окончательный вид:

Mz=-mg

Под действием этого момента свободно отпущенный диск начинает совершать крутильные колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний записывается в виде:

Отсюда после преобразований получим:

Введем обозначение к2 = mga2/Jzl Тогда выражение (6.7)при-мет вид:

где к - круговая частота крутильных колебаний диска.

С другой сторона круговая частота колебания выражается че­рев период колебаний Г в виде :

к=

Тогда справедливо равенство:

Откуда момент инерции диска ,

Боли положить на диск исследуемый груз массой mr так, что­бы его центр масс также лежал на оси OZ, то момент инерции диска с грузом определяется аналогично:

--------- (6-9)

где Т - период крутильных колебаний диска с грузом. Затем мож­но вычислить момент инерции груза по формуле:

J =J,z-Jz (6.10)