Теоретическое обоснование работы

Пусть твердое тело подвешено на горизонтальной оси 0Z., не проходящей через его центр масс, как показано на рис. 4.1.

При отклонении от положения равновесия тело совершает

колебания под действием силы тяжести mg. Составим диффе­ренциальное уравнение движения маятника:

J_z = - mga sinφ

где φ - угол отклонения тела от вертикали;

а - расстояние ОС от центра масс тела до оси подвеса;

Jz— момент инерции тела относительно оси OZ.

Деля обе части равенства на Jz и вводя обозначение

mga/J_z=K², (4.1)

найдем дифференциальное уравнение колебаний тела в виде: ' +К² sinφ=0

Рис. 4.1. Схема к исследованию маятниковых колебаний тела.

Полученное дифференциальное уравнение нелинейное, в обычных функциях не интегрируется. Поэтому ограничимся рассмотрением малых колебаний тела, считая угол φ малым и полагая sinφ ≈ φ. Тогда предыдущее уравнение примет вид:

+К²φ=0.

Решение этого уравнения ищем в виде: φ=cjsinkt + C2Coskt.

Полагая, что в начальный момент t=0 маятник отклонен на малый угол φ=φ₀ и отпущен без начальной скорости (φ₀= 0) ???, найдем для постоянных интегрирования c1=0 и c2=φо- Тогда за­кон малых колебаний маятника при данных начальных условиях будет

φ= φ₀ coskt.

Следовательно, малые колебания тела являются гармониче­скими. Период колебаний его, если заменить К значением из вы-ражения(4.1), определяется формулой:

T = 2π (4.2)

Откуда момент инерции тела

(4-3)

Используя формулу (4.2), можно также определить период колебаний соответствующего математического маятника. Для математического маятника, состоящего из одной материальной точки, справедливы равенства:

J_z= m₁l²,α =l,m=m₁

где -l - длина математического маятника; m₁ - масса математического маятника.

Подставляя эти величины в равенство(4.2), найдем, что пери­од малых колебаний математического маятника определяется формулой:

Если исследуемое тело и соответствующий ему математиче­ский маятник будут совершать колебания с равными периодами, то справедливо равенство:

Откуда

J_z = mla. (4.4) Таким образом, зная массу m тела, расстояние от оси подвеса

до его центра масс, длину -С соответствующего математического маятника, совершающего синхронные колебания с ним, можно определить момент инерции данного тела относительно оси под­веса по формуле (4.4).

Далее, момент инерции тела относительно оси OZ_h проходя­щей через его центр масс параллельно оси 02 , можно рассчитать, используя теорему Гюйгенса, т. е. по формуле:

J₁ =J₂- та². (4.5)