Про обозначения

Базовый уровень, время – 3 мин)

Тема: Построение и анализ таблиц истинности логических выражений.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (Ù,Ú,), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает Ù и Ú. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (Ù,Ú,), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

· условные обозначения логических операций

A, не A (отрицание, инверсия)

A Ù B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A Ú B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

AB импликация (следование)

AºB эквивалентность (равносильность)

· операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

AB = A Ú Bили в других обозначениях AB =

· иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:

(A Ù B) = A Ú B

(A Ú B) = A Ù B

· если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»

· таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных

· если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);

· количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)

· логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)

· логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)

· логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда из A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно

· эквивалентность АºB равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1

Пример задания:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 5 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково минимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A Ú ØB?

Решение:

1) полная таблица истинности каждого выражения с пятью переменными содержит 25 = 32 строки

2) в каждой таблице по 4 единицы и по 28 (= 32 – 4) нуля

3) выражение A Ú ØB равно единице, если A = 1 или B = 0 (или и то, и другое вместе)

4) минимальное количество единиц в таблице истинности выражения A Ú ØB будет тогда, когда в там будет наибольшее число нулей, то есть в наибольшем количество строк одновременно A = 0 и B = 1

5) по условию A = 0 в 28 строках, и B = 1 в 4 строках, поэтому выражение A Ú ØB может быть равно нуля не более чем в 4 строках, оставшиеся 32 – 4 = 28 могут быть равны 1

6) Ответ: 28.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1 x2 x3 x4 x5 F

Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x1 не совпадает с F.

Решение:

1) полная таблица истинности выражения с пятью переменными содержит 25 = 32 строки

2) в приведённой части таблицы в двух строках значение x1 совпадает с F, а в одной – совпадает

3) во всех оставшихся (неизвестных) 32 – 3 = 29 строках значения x1 и F могут не совпадать

4) всего несовпадающих строк может быть 1 + 29 = 30.

5) Ответ: 30.

Ещё пример задания:

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 F

Каким выражением может быть F?

1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

Решение:

1) перепишем выражения в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:

1)

2)

3)

4)

2) в последнем столбце таблицы истинности видим две единицы, откуда сразу следует, что это не может быть цепочка операций «И» (конъюнкций), которая даёт только одну единицу; поэтому ответы 1 и 3 заведомо неверные

3) анализируем первую строку таблицы истинности; мы знаем в ней только два значения - и

4) для того, чтобы в результате в первой строке получить 0, необходимо, чтобы переменная входила в сумму с инверсией (тогда из 1 получится 0!), это условие выполняется для обоих оставшихся вариантов, 2 и 4

5) кроме того, переменная должна входить в выражение без инверсии (иначе соответствующее слагаемое в первой строке равно 1, и это даст в результате 1); этому условию не удовлетворяет выражение 4; остается один возможный вариант – выражение 2

6) Ответ: 2.

Ещё пример задания:

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 F

Каким выражением может быть F?

1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

1) перепишем выражения в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:

1)

2)

3)

4)

2) в последнем столбце в таблице видим одну единицу и два нуля, поэтому это не может быть дизъюнкция, которая даёт ноль только при одном наборе значений переменных; таким образом, варианты 2 и 4 заведомо неверные, нужно сделать выбор между ответами 1 и 3

3) рассматриваем «особую» строчку таблице, в которой функция равна 1;

4) поскольку мы говорим о конъюнкции, переменная должна входить в неё с инверсией (это выполняется для обоих оставшихся вариантов), а переменная – без инверсии; последнее из этих двух условий верно только для варианта 3, это и есть правильный ответ.

5) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 F

Каким выражением может быть F?

1) x1 Ù x2 Ú x2 Ù x3 Ù x4 Ú x2 Ù x5 Ú x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

2) (x1 Ù x2 Ú x3 Ú x4) Ù (x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8)

3) x1 Ù x8 Ú x3 Ù x4 Ù x5 Ú x6 Ù x7 Ù x8

4) x1 Ù x4 Ú x2 Ù x3 Ù x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

Решение:

1) перепишем выражения в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:

1)

2)

3)

4)

2) cреди заданных вариантов ответа нет «чистых» конъюнкций и дизъюнкций, поэтому мы должны проверить возможные значения всех выражений для каждой строки таблицы

3) подставим в эти выражения известные значения переменных из первой строчке таблицы, и :

1)

2)

3)

4)

4) видим, что первое выражение при и всегда равно нулю, поэтому вариант 1 не подходит; остальные выражения вычислимы, то есть, могут быть равны как 0, так и 1

5) подставляем в оставшиеся три выражения известные данные из второй строчки таблицы, и :

2)

3)

4)

6) видим, что выражение 4 при этих данных всегда равно 1, поэтому получить F=0, как задано в таблице, невозможно; этот вариант не подходит

7) остаются выражения 2 и 3; подставляем в них известные данные из третьей строчки таблицы, и :

2)

3)

8) Выражение 2 в этом случае всегда равно 1, поэтому оно не подходит (по таблице истинности оно должно быть равно 0); выражение 3 вычислимо, это и есть правильный ответ

9) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 F

Какое выражение соответствует F?

1) (x2 ® x1) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

2) (x2 ® x1) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

3) (x2 ® x1) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

4) (x2 ® x1) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

Решение:

1) перепишем выражение в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:

2) в этом задании среди значений функции только одна единица, как у операции «И», это намекает на то, что нужно искать правильный ответ среди вариантов, содержащих «И», «НЕ» и импликацию (это варианты 1 и 3)

3) действительно, вариант 2 исключён, потому что при 4=1 во второй строке получаем 1, а не 0

4) аналогично, вариант 4 исключён, потому что при 5=1 в первой строке получаем 1, а не 0

5) итак, остаются варианты 1 и 3; вариант 1 не подходит, потому что при 6=0 в третьей строке получаем 0, а не 1

6) проверяем подробно вариант 3, он подходит во всех строчках

7) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 F

Какое выражение соответствует F?

1) (x1 Ù x2) Ú (x3 Ù x4) Ú (x5 Ù x6)

2) (x1 Ù x3) Ú (x3 Ù x5) Ú (x5 Ù x1)

3) (x2 Ù x4) Ú (x4 Ù x6) Ú (x6 Ù x2)

4) (x1 Ù x4) Ú (x2 Ù x5) Ú (x3 Ù x6)

Решение:

1)во-первых, обратим внимание, что в столбце F – все нули, то есть, при всех рассмотренных наборах x1, …, x6 функция ложна

2)перепишем предложенные варианты в более простых обозначениях:

x1×x2 + x3×x4 + x5×x6

x1×x3 + x3×x5 + x5×x1

x2×x4 + x4×x5 + x6×x2

x1×x4 + x2×x5 + x3×x6

3) это суммы произведений, поэтому для того, чтобы функция была равна 0, необходимо, чтобы все произведения были равны 0

4) по таблице смотрим, какие произведения равны 1:

1-я строка: x2×x5, x2×x6 и x5×x6

2-я строка: x3×x6

3-я строка: x2×x4, x2×x6 и x4×x6

5) таким образом, нужно выбрать функцию, где эти произведения не встречаются; отметим их:

x1×x2 + x3×x4 + x5×x6

x1×x3 + x3×x5 + x5×x1

x2×x4 + x4×x5 + x6×x2

x1×x4 + x2×x5 + x3×x6

6) единственная функция, где нет ни одного «запрещённого» произведения – это функция 2

7)Ответ: 2.

Пример задания:

(http://ege.yandex.ru) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1 x2 x3 x4 x5 F

Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.

1) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x1

2) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x2

3) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x3

4) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x4

Решение:

1) во всех заданных вариантах ответа записана импликация, она ложна только тогда, когда левая часть (значение функции F) истинна, а правая – ложна.

2) выражение 1 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F() = 1 и , оно не подходит

3) выражение 2 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F() = 1 и , оно не подходит

4) выражение 3 истинно для всех наборов переменных, заданных в таблице истинности

5) выражение 4 ложно для набора переменных в первой строке таблицы истинности, где F() = 1 и , оно не подходит

6) ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

z1 Ù z2 Ù z3 Ù z4 Ù z5

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

1) 1 2) 2 3) 31 4) 32

Решение:

1) задано выражение с пятью переменными, которые могут принимать 25 = 32 различных комбинаций значений

2) операция Ù– это логическое умножение, поэтому заданное выражение истинно только тогда, когда все сомножитель истинны, то есть в одном единственном случае

3) тогда остается 32 – 1 = 31 вариант, когда выражение ложно

4) ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F

1) (x1 Ú x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

2) (x1 Ù x2) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7

3) (x1 Ù x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

4) (x1 Ù x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

Решение:

1) в последнем столбце таблицы всего одна единица, поэтому стоит попробовать использовать функцию, состоящую из цепочки операций «И» (ответы 1, 3 или 4);

2) для этой «единичной» строчки получаем, что инверсия (операция «НЕ») должна быть применена к переменным x3, x5 и x7, которые равны нулю:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F

таким образом, остается только вариант ответа 1 (в ответах 3 и 4 переменная x3 указана без инверсии)

3) проверяем скобку (x1 Ú x2): в данном случае она равна 1, что соответствует условию

4) ответ: 1.

Ещё пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z 2) X Ù Y Ù Z 3) X Ú Y Ú Z 4) X Ú Y Ú Z

Решение (основной вариант):

1) нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных

2) если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F

3) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3) 4)

4) первое выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)

5) второе выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)

6) третье выражение, , равно нулю при , поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)

7) наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности

8) таким образом, правильный ответ – 4 ; частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:

X Y Z F
0 × 0 ×
0 ×

(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

Возможные ловушки и проблемы: · серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид; · расчет на то, что ученик перепутает значки Ù и Ú (неверный ответ 1) · в некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений (как упрощать – см. разбор задачи А10)

Решение (вариант 2):

1) часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности

2) в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов

3) в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации

4) выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)

5) таким образом, правильный ответ – 4

 

Возможные проблемы: · метод применим не всегда, то есть, найденная в п. 4 функция может отсутствовать среди ответов

Еще пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z 2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z

Решение (вариант 2):

1) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3) 4)

2) в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов (ответ 3)

3) таким образом, правильный ответ – 3.

Еще пример задания:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

X1 Ù X2 Ù X3 Ù X4 Ù X5

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

1) 1 2) 2 3) 31 4) 32

Решение (вариант 2):

1) перепишем выражение в других обозначениях:

2) таблица истинности для выражения с пятью переменными содержит 25 = 32 строки (различные комбинации значений этих переменных)

3) логическое произведение истинно в том и только в том случае, когда все сомножители равны 1, поэтому только один из этих вариантов даст истинное значение выражения, а остальные 32 – 1 = 31 вариант дают ложное значение.

4) таким образом, правильный ответ – 3.


Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F

Какое выражение соответствует F?

1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7

3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7

Решение (вариант 2):

1) перепишем выражения 1-4 в других обозначениях:

1.

2.

3.

4.

2) поскольку в столбце F есть два нуля, это не может быть выражение, включающее только операции «ИЛИ» (логическое сложение), потому что в этом случае в таблице был бы только один ноль, поэтому варианты 2 и 4 отпадают:

1.

3.

аналогично, если бы в таблице был один ноль и две единицы, это не могла бы быть цепочка операций «И», которая всегда дает только одну единицу;

3) для того, чтобы в последней строке таблицы получилась единица, нужно применить операцию «НЕ» (инверсию) к переменным, значения которых в этой строке равны нулю, то есть к и ; остальные переменные инвертировать не нужно, так как они равны 1; видим, что эти условия в точности совпадают с выражением 1, это и есть правильный ответ

4) Ответ: 1.