Другие числовые характеристики СВ

Моменты распределения делятся на начальные моменты, центральные и смешанные.

1. Начальные моменты q^го порядка (q=1,2,…): M(X¹)=МО

2. Центральные моменты q^го порядка: M((X-m)²)=D

M(x-m)^q=M(x)^q-C_q¹mM(x)^q-1+ C_q²mM(x)^q-2+…+(-1)^qm^q

M(x-m)³= M(x)³-3mM(x)²+2m³

M(x-m)²= M(x)²-m²=D(x)

Центральные моменты 3^го и 4^го порядков используются для получения коэффициентов асимметрии и эксцесса (As, Ex), характеризующих особенности конкретного распределения.

Для нормального закона распределения As=0.

Если As>0, то распределение имеет правостороннюю скошенность. При As<0 – левосторонняя скошенность.

 

Эксцесс характеризует остро- или плосковершинность исследуемого распределения по сравнению с нормальным распределением.

НСВ:

1. Нормальное распределение: Ex=As=0

2. Равномерное распределение: As=0, Ex=-1,2

3. Экспоненциальное распределение: As=2, Ex=9.

Биноминальное:

3. Смешанные моменты:

Начальный смешанный момент порядка (k+s) системы 2^х СВ (X+Y):

Центральный моменты порядка (k+s):

Центральный смешанный момент второго порядка:

K_xy=M((X-m_x)(Y-m_y)) – корреляционный момент

– коэффициент корреляции

Мода ДСВ – значение СВ, имеющее максимальную вероятность.

Мода НСВ – значение СВ, соответствующее максимуму функции плотности вероятности f(x).

Обозначение моды: m₀, M₀(x), mod(x).

Медиана СВ Х (m_e, M_e(x), med(x)) – значение СВ, для которого выполняется равенство:

P(X<m_e)=P(X>m_e)

F(m_e)=0,5.

Медиана – это площадь, получаемая делением фигуры пополам.

В симметричном распределении m=m₀=m_e. В несимметричном они не равны.

Так как мода и медиана зависят от структуры распределения, их называют структурными средними.

Медиана – это значение признака, который делит ранжированный ряд значений СВ на две равных по объему группы. В свою очередь, внутри каждой группы могут быть найдены те значения признака, которые делят группы на 4 равные части – квартиль.

Ранжированный ряд значений СВ может быть поделен на 10 равных частей – децилей, на 100 – центилей.

Такие величины, делящие ранжированный ряд значений СВ на несколько равных частей, называются квантилями.

Под p% квантилями понимаются такие значения признака в ранжированном ряду, которые не больше p% наблюдений.

Пример.: Основным условие при выборе места строительства бензоколонки (на 100 км есть 10 гаражей) является требование наименьшего среднего пробега автомобиля до заправки.

	0,05	0,075	0,025	0,1	0,025	0,075	0,15	0,05	0,325	0,125
F(x)	0,05	0,125	0,15	0,25	0,275	0,475	0,625	0,675		0,4

Пробег автомобиля от гаража до заправки будет СВ, зависящей от места расположения бензоколонки Х_б.

Средний пробег автомобиля: M(|X-X_б|), Х_б=50.

M(|X-50|)=(50-7)×0,05+(50-26)×0,075+…+(50-46)×0,125=27 км.

Колонку надо поставить на медиане этого распределения:

P(X<m_e)=P(X>m_e)=F(0,5) => X_б=65 км

M(|X-m_e|)=24 км.