Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Модой 
непрерывной случайной величины X с плотностью f(x), наз. число 
, при котором f(x) достигает максимального значения.
Медианой 
непрерывной случайной величины X с функцией распределения F(x) наз. число , такое, что 
.
Математическим ожиданием 
непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x), наз. число
.
Математическое ожидание называют средним значением (срединным значением, средним взвешенным, центром рассеивания) случайной величины.
Дисперсиейслучайной величины 
наз. математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания
Среднее квадратическое отклонение 
Пример решения задачи 2.Случайная величина X имеет плотность распределения
Найти константу C, M(X), D(X), среднее квадратическое отклонение, Mo(X), Me(X).
Найти F(x). Построить графики функций F(x) и f(x). Найти P(X < 2), P(2 < X < 3), P(X >3).
1. Вычисление постоянной величины C
Следовательно, 
.
Функция плотности распределения 
2. Функция распределения
3. Вычисление математического ожидания 
4. Вычисление дисперсии 
5. Среднее квадратическое отклонение 
6. Мода – наиболее вероятное значение случайной величины X
Следовательно, наиболее вероятное значение случайной величины при x = 3, Mo(X) = 3.
7. Построение графиков функций F(x) и f(x) выполняется в Excel.
В интервале (1,4) задайте шаг изменения X – 0,2.
 |  | ||
Рис. 1. Таблица для построения функций 
и 
.
Рис. 2. График функции плотности распределения 
Графическое отыскание медианы , 
= 2,6
Рис. 3. График функции распределения 
8. Вычисление вероятностей P(X < 2), P(2 < X < 3), P(X >3).
Задача 3.Тема: Основные распределения – биномиальное, Пуассона, нормальное. Теоремы Муавра-Лапласа.
Биномиальное распределение B(n,p) имеет место тогда, когда при каждом из n независимых испытаний случайное событие A может произойти с вероятностью p, а вероятность появления события m раз определяется по формуле Бернулли:
где p = P(A) – вероятность события A в каждом испытании (вероятность успеха), которая считается постоянной:
– число сочетаний из nэлементов по m элементов;
q = 1 - p – вероятность события 
(вероятность неудачи).
Вероятность 
обладает следующим свойством 
Рассмотренная схема испытаний называется схемой испытаний Бернулли.
Случайная величина X , равная числу появлений события A в серии из n испытаний (число успехов) распределена по биномиальному закону.
Вероятность того, что случайная величина X = m вычисляется по формуле Бернулли:
Для биномиального закона распределения:
– математическое ожидание: 
– дисперсия: 
– среднее квадратическое отклонение 
Вероятность того, что в схеме Бернулли событие A в серии из n испытаний появится от k1 до k2 раз, вычисляется по формуле 
.
Для вычисления вероятности в Excel используется функция БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятность_успеха; интегральная):
число_успехов – число успехов в серии из n испытаний – m
число_испытаний – число испытаний – n
вероятность_успеха – вероятность успеха – p
интегральная – логическая константа
– если интегральная = 1, то БИНОМРАСП вычисляет значение функции распределения 
;
– если интегральная = 0, то БИНОМРАСП выдает значение вероятности 
.
В Excel вероятность 
вычисляется как разность:
БИНОМРАСП (число_успехов = k2; число_испытаний; вероятность_успеха; 1) –
– БИНОМРАСП (число_успехов = k1; число_испытаний; вероятность_успеха; 1).
Распределение Пуассона с параметром 
P(l) (“закон редких явлений”)
Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает любые целые значения 0, 1, 2, … и вероятности того, что она примет определенное значение m, выражается формулой
,
λ – параметр, положительная величина.
Числовые характеристики распределения Пуассона: 
и 
Если число испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала 
и 
, то можно использовать предельную теорему Пуассона, которая позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет равно m , по формуле
, где 
.
Для вычисления вероятности в Excel используется функция ПУАССОН (x; среднее; интегральная):
x – значение случайной величины (целое число), для которой вычисляется вероятность;
среднее – математическое ожидание случайной величины
интегральная – логическая константа:
– если интегральная = 1, то ПУАССОН вычисляет значение функции распределения
;
– если интегральная = 0, то ПУАССОН вычисляет значение вероятности
В Excel вероятность 
вычисляется как разность:
ПУАССОН (x = k2; среднее; интегральная = 1) –
– ПУАССОН (x = k1; среднее; интегральная = 1)
Экспоненциальное (показательное) распределение, Exp(l).
Непрерывная случайная величина называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения описывается формулой:
где λ – параметр, положительное число.
Функция распределения имеет вид:
Числовые характеристики: 
.
Для вычисления функции распределения 
и функции плотности 
показательного распределения в Excel используется функция
ЭКСПРАСП (x; лямбда; интегральная)
x – значение аргумента, для которого вычисляется значение функции 
или ;
лямбда – параметр, 
;
интегральная – логическая константа:
– если интегральная = 1, то ЭКСПРАСП вычисляет значение функции распределения
;
– если интегральная = 0, то ЭКСПРАСП выдает значение функции плотности
В Excel вероятность 
вычисляется следующим образом (как зность):
ЭКСПРАСП (x2; лямбда; интегральная = 1) –
–ЭКСПРАСП (x1; лямбда; интегральная = 1)
Нормальный закон распределения N(m,s).
Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности задается формулой:
, 
, 
.
Функция распределения нормальной случайной величины вычисляется по формуле:
, 
.
1. График плотности f(x) симметричен относительно прямой x = m .
2. Функция имеет единственный экстремум (максимум) в точке x = m.
3. Для нормального распределения 
.
4. 
- обратно пропорциональна параметру 
. Так как площадь, заключенная между кривой f(x) и осью абсцисс равна 
, то чем больше , тем больше растянута кривая f(x) вдоль оси абсцисс, и чем меньше , тем больше растянута кривая f(x) вдоль оси ординат.
5. 
Интеграл 
вычисляется приближенно.
Для определения вероятности того, что случайная величина X примет значение из промежутка [a, b] составляются таблицы некоторой стандартной функции.
Если m = 0, 
= 1, функция плотности нормального распределение принимает вид
и называется стандартным нормальным распределением.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b] вычисляется с помощью функции Лапласа 
Свойства функции Лапласа:
1. Функция Лапласа определена при x > 0 и является нечетной функцией
;
2. 
;
3. 
;
5. 
.
Для вычисления функции распределения и функции плотности, нормально распределенной случайной величины, в Excel используется функция НОРМРАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная):
x – значение аргумента, для которого вычисляется значение функции или ;
среднее – среднее нормального распределения, математическое ожидание m = ;
интегральная – логическая константа:
– если интегральная = 1, то НОРМРАСП вычисляет значение функции распределения
;
– если интегральная = 0, то НОРМРАСП вычисляет значение плотности распределения
В Excel вероятность вычисляется следующим образом (как разность):
НОРМРАСП (x2; среднее; стандартное_откл; интегральная = 1) –
–НОРМРАСП (x1; среднее; стандартное_откл; интегральная = 1).
Функции Лапласа 
в Excel вычисляется так образом:
НОРМРАСП (x; среднее = 0; стандартное_откл = 1; интегральная = 1) –0,5
Для вычисления функции стандартного нормального распределения в Excel
используется НОРМРАСП с аргументами
=НОРМРАСП (x; среднее = 0; стандартное_откл = 1; интегральная = 0). .
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Локальная теорема Муавра-Лапласа дает асимптотическое приближение при большом количестве испытаний и достаточно больших вероятностях события А.
Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность 
того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
,где 
, 
.
Значение функции находят по таблицам.
Функция j (x) четная, поэтому для отрицательных и положительных значений аргумента пользуются одними таблицами, т.е. j (-x) = j (x).
Вычисление функции j (x) в Excel:
=НОРМРАСП (x; среднее = 0; стандартное_откл = 1; интегральная = 0).
Интегральная теорема Лапласа Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 
того, что событие А появится в n испытаниях от m1 до m2 раз, приближенно равна определенному интегралу
, где 
, 
– функция Лапласа 
.
Для решения задач с применением интегральной теоремы Лапласа используются таблицы функции Лапласа .Функция Лапласа – функциянечетна, а это значит, что
.
=
= НОРМРАСП (x2; среднее = np; стандартное_откл = 
; интегральная = 1) –
–НОРМРАСП (x1; среднее = np; стандартное_откл ; интегральная = 1).
Пример решения задачи 3.
Проводится n = 220 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,25, m – число удачных испытаний в серии.
Найти вероятность ровно 50 удачных испытаний:
- по формуле Бернулли;
- по асимптотической формуле Пуассона;
- по локальной формуле Муавра-Лапласа.
Найти вероятность числа успешных испытаний от m1 = 39 до m2 = 50:
- по формуле Бернулли;
- по асимптотической формуле Пуассона;
- по интегральной формуле Муавра-Лапласа.
Для заданных исходных данных построить совместные графики биномиального распределения, распределения Пуассона и график функции локальной теоремы Муавра-Лапласа. Все вычисления выполнить в Excel
Решение.
1. Число испытаний n = 220. Событие A может появиться от 0 до 220 раз (m – число успехов). Математическое ожидание числа успехов M(X) = n· p = 220·0,25 = 55, среднее квадратическое отклонение 
. Надо выбрать и ввести в Excel в качестве исходных данных такое число испытаний, в таком диапазоне изменения m и с таким шагом, чтобы график был отчетлив. В рассматриваемом варианте диапазон изменения m надо выбрать (исходя из правила 3 s) 
= (55 – 3·6,4, 55 + 3·6,4 ) ≈ (30, 80).
Исходные данные (число испытаний) введены в столбец A4:A29 в диапазоне от 30 до 80 с шагом через 2 испытания. Массив A4:A29 получается компактным.
Далее, в ходе построения графиков, диапазон и шаг исходных данных можно изменить или уточнить
= БИНОМРАСП(m = 30;n = 220;p = 0,25;0)
=ПУАССОН(m = 30;np = 55;0)
x = 
= 
Рис 1. Таблица с исходными данными и вычислениями:
B(n, p) – биномиальное распределение;
P(l) – распределение Пуассона;
Столбец x – x = , m – число удачных испытаний;
Локальная формула Муавра-Лапласа – .
Рис 2. График биномиального распределения почти совпадает с графиком, построенным по локальной формуле Муавра-Лапласа, и расходится с графиком распределения Пуассона.
Рис 3. Результаты вычисления вероятности ровно m = 50 успешных испытаний, с использованием биномиального распределения, распределения Пуассона и локальной формулы Муавра-Лапласа. Результаты вычисления вероятности числа успешных испытаний от m1 = 39 до m2 = 50 с использованием биномиального распределения, распределения Пуассона и интегральной формулы Муавра-Лапласа.
Выводы. Excel позволяет выполнить вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли для любого, сколь угодно большого числа испытаний, и сколь угодно малой вероятности успеха, не используя асимптотические формулы Пуассона или Муавра-Лапласа, с любой необходимой точностью.
Пример решения задачи 4.Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки по критерию хи-квадрат Пирсона. Вычисление доверительных интервалов.
Введите исходные данные согласно назначенного преподавателем варианта задания, столбец $A$3: $A$102(как показано на рис. 1), содержащий 100 случайных чисел.
1. Найти выборочные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
2. Получить описательные статистики.
3. По выборочным данным построить гистограмму.
4. По виду гистограммы сделать предположение о теоретическом законе распределения и построить его график.
5. Проверить гипотезу о законе распределения на основе критерия Хи-квадрат Пирсона.
6. Вычислить вероятности попадания исследуемой случайной величины в заданные интервалы
7. Найти доверительные интервалы для заданной доверительной вероятности b = 0,99, b = 0,95, b = 0,9.