Функция распределения двумерной случайной величины

 

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y)(безразлично, дискретную или непрерывную).

Пусть х, у - пара действи­тельных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Xпримет значение, мень­шее х, и при этом случайная величина Yприметзначение, меньшее у, обозначим через F(x, у). Если хи убудут изменяться, то будет изме­няться и F(х, у),т. е. F (х, у)есть функция от хи у.

Функцией распределениядвумерной случайной вели­чины (X, Y)называют функцию F(х, у),определяющую для каждой пары чисел х,увероятность того, что Xпримет значение, меньшее х, и при этом Yпримет зна­чение, меньшее у:

(9.1)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у)есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант рас­положенный левее и ниже вершины, которая имеет координаты (x, у):

 

Пример

Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая Xдвумерной случайной величины (X, Y)примет зна­чение X < 2и при этом составляющая Yпримет значение Y < 3,если известна функция распределения системы случайных величин:

 

По определению функции распределения двумерной случайной величины (согласно выражения (9.1)):

 

Подставим вместо x его значение равное 2 и вместо y его значение равное 3, получаем:

 

 

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

 

1. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству:

 

2. F(x,y) есть неубывающая функция по каждому аргументы, т.е.:

 

если и

3. Имеют место предельные соотношения:

 

Поясним первое соотношение данного пункта: по определению но событие невозможно, его вероятность равна 0, а следовательно и Аналогично поясняются и соотношения 2), 3) и 4).

4. При функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей X:

 

При функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y: