Свойства плотности распределения вероятностей

непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

p(t)³0.

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

2. =1.

Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:

Любая неотрицательная функция p(t), для которой =1, является плотностью распределения вероятностей некоторой непрерывно распределенной случайной величины.

Общий вид графика функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины приведен на рис. 6.7.

Рис. 6.7

 

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу (a, b), равна определенному интервалу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

P(а£Х<b)= .

Действительно, P(а£Х<b)=F(b) – F(a)= = по одному из свойств определенного интеграла.

 

Из вышеприведенного утверждения можно сделать вывод, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Отсюда,

P(a£Х<b)=P(a<Х<b)=P(a<Х£b)=P(a£Х£b)=F(b) – F(a).

 

Геометрически вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в интервал (a, b) может быть рассмотрена как площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком плотности распределения p(t) и прямыми х=a и х=b(рис. 6.8).

Рис. 6.8

 

Определения числовых характеристик случайной величины, рассмотренные в параграфе 6.2, можно распространить на случай непрерывной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл

М[X] = .

Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b], то М[X]= .

Используя определение дисперсии (6.4) для случая непрерывной случайной величины, можно получить следующую формулу для вычисления дисперсии

D[X] = .

Если возможные ненулевые значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то

D[X] = .

Более удобные формулы для вычисления дисперсии таковы:

D[X] = ,

если функция p(t) отлична от 0 на всей числовой оси;

D[X] = (6.8)

если возможные ненулевые значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется также, как и для случая дискретной случайной величины:

.

17. Биномиальное распределение Бернулли: связь формулы Бернулли с биномом Ньютона. Распределение Пуассона.

Пусть проводится n независимых испытаний, каждое с двумя исходами — удача и неудача. Пусть вероятность удачи в одном испытании p, а вероятность неудачи, соответственно, q = 1 - p. Вероятность того, что в результате n испытаний будет ровно k удач, дается формулой Бернулли (см. квант 20): .Введем в рассмотрение случайную величину X — количество удач при n испытаниях. Эта случайная величина может принимать целочисленные значения, от k = 0 до k = n. Формула Бернулли , рассматриваемая как функция k, представляет собой закон распределения случайной величины и называется биномиальным распределением .Происхождение названия связано с формулой, называемой бином Ньютона : (частные случаи этого выражения для n = 2 и n = 3 хорошо известны). Формула для биномиального распределения представляет собой k-й член суммы в биноме Ньютона . Изучим теперь свойства этого распределения.Легко видеть, что .Действительно: .Здесь мы воспользовались биномом Ньютона и соотношением p + q = 1. Таким образом, формула для на самом деле представляет собой закон распределения.Для вычисления математического ожидания и дисперсии количества удач в n испытаниях рассмотрим для начала вспомогательную случайную величину X1 — количество удач в одном испытании. Случайная величина X1 может принимать два значения 0 и 1 с вероятностямиq и p, соответственно (это закон распределения случайной величины X1). Легко вычислить, что: .Далее случайную величину X можно рассматривать как сумму независимых случайных величин X1. Тогда на основании свойств математического ожидания и дисперсии от суммы случайных величин получаем: .Выясним теперь поведение функции при изменении k. Для этого запишем: и выясним, когда неотрицательный множитель (функция растет при переходе к следующему значению k), а когда (функция убывает при переходе к следующему значению). Решая неравенство можем получить . Это означает, что при значениях функция растет, а при значениях , наоборот, убывает. Если (то есть рассматриваемый коэффициент равен единице), то это значение k и следующее за ним k + 1 дадут одинаковые значения функции , которые будут наиболее вероятными в распределении. Если np - q не целое число, то наибольшая вероятность будет достигаться при следующем целом значении k после np - q.Характерная зависимость биномиального распределения от k представлена на рисунке ниже. Для построения графика было взятоn = 10, p = 0,4.

18. Геометрическое и гипергеометрическое распределения. Интерпретации задач, приводящих к геометрическому и гипергеометрическому распределениям.

 

Геометрическое распределениеПусть проводятся независимые испытания, каждое испытание может иметь два исхода: удача с вероятностью p и неудача с вероятностью q= 1 - p. Введем в рассмотрение случайную величину X — число испытаний до первого появления удачи. Эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Когда говорят, что случайная величина X имеет значение k, то это означает, что первые k - 1 испытание закончились неудачей, а k-ое испытание стало удачным. Вероятность того, что в серии независимых испытаний будет вначале k - 1 неудач, а в k-ое испытание — удача, равна . Таким образом мы получили закон распределения случайной величины X: значению k случайной величины соответствует вероятность . Этот закон распределения и называетсягеометрическим распределением . Название происходит из того, что величина представляет собой геометрическую прогрессию, с первым членом p и знаменателем q.Изучим теперь свойства этого распределения. С ростом k вероятности убывают. Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можем записать: ,то есть условие, что сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице, выполнено. Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию. По определению математического ожидания имеем: .Для вычисления суммы воспользуемся следующим приемом — заменим на и вынесем производную за знак суммы, в итоге получим: .Оставшаяся сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и равна . Вычисляя производную, запишем: .Аналогично можно получить выражение для : .Заменяя сумму на ее значение , вычисляем: .Таким образом, имеем выражение для дисперсии: .Если вероятность удачи равна единице, то математическое ожидание числа испытаний до первой удачи равно 1, а дисперсия — 0. Если, наоборот, вероятность удачи равна нулю, то математическое ожидание — бесконечность (то есть нужно произвести бесконечное число испытаний до появления удачи).Пример 30.1Вероятность попадания в мишень из винтовки равна 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины — количества выстрелов до первого попадания.Математическое ожидание , дисперсия . Полученные результаты означают, что при вероятности попадания 0,8 попадание будет в среднем с 1—2 выстрела.Гипергеометрическое распределениеПусть имеется N предметов, из них M — помеченных. Наудачу вытаскивают n предметов. Какова вероятность, что среди вытащенных nпредметов будет m помеченных? Разумеется . Для решения задачи посчитаем общее число элементарных исходов, каким можно вытащить n предметов из N, и число благоприятных исходов, то есть когда среди n вытащенных предметов окажется m помеченных. Согласно формулам комбинаторики (см. квант 7) общее число элементарных исходов есть . Составить комбинацию m помеченных предметов, когда всего их M, можно способами. При этом на каждый способ составить комбинацию m помеченных предметов из M есть способов взять оставшиеся n - m предметов из N - Mне помеченных. Таким образом, число благоприятных элементарных исходов есть . Согласно классическому определению вероятности получаем ответ к задаче: .Если значения N, M и n заданы, то полученная вероятность, рассматриваемая как функция m, представляет собой закон распределения случайной величины — числа помеченных предметов m в выборке n. Этот закон распределения называется гипергеометрическим распределением .Пример 30.2В ящике 6 синих и 4 красных шара. Вытаскиваем 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 синих.По формуле гипергеометрического распределения имеем: .

 

19. Нормальный закон распределения: математическое ожидание и дисперсия, плотность вероятности и функция распределения нормального закона.

Равномерный закон распределения.

На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероят­ности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

 

 

Вероятность dP того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( x , x+dx) равна

,

где f(x) – функция плотности распределения вероятности (является вероятностью, приходящейся на единицу длины, рассматриваемого участка).

Вероятность того, что случайная величина принимает значения из интервала [x1,x2] рассчитывается по формуле:

Функция f(x) показывает следующую важнейшую информацию: вероятность числовой величине х принять значение больше числа x1 и меньше числа x2 равна площади под кривой f(x) на отрезке [x1, x2]. Разумеется, это касается любых x1 и x2, близких между собой или далеких, расположенных в любом месте прямой х.

Из наиболее известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, описываемое законом Гаусса. Впервые нормальный закон был обнаружен в Х1Х веке в применении к теории ошибок измерения Лапласом и Гаусcом.

20. Стандартное нормальное распределение случайной величины. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный участок.