Интегральная теорема Лапласа
Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<р<1). Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз, т.е. Pn(k1,k2) (для кратности говорят «от k1 до k2 раз)? На этот вопрос дает ответ интегральная теорема Лапласа.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу
(1.40)
где 
и 
При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл 
не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла Ф(х) = 
(интегральная функция Лапласа) приводится в приложениях к учебникам по теории вероятностей (например, Гмурман, приложение 2, с.462). В таблицах приводятся значения Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х<0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)]. В таблицах приводятся значения интеграла лишь до х=5, так как для х >5можно принять Ф(х) = 0,5. Значение искомой вероятности равно