Созылу диаграммалары

Материалдар қасиеттерін зерттеу үшін және шекті кернеулердің мәндерін анықтау үшін материал үлгілерінің сынауларын оларды сындыруға дейін жүргізеді. Сынаулар статикалық, соққы және циклдік жүктемелер әсерінен созылуға, сығылуға, бұралуға және иіюлуге жүргізіледі (кейбірде күрделі қарсыласуға). Сынаудың нәтижелері үлгінің формасына, деформациялану жылдамдығына, сынау кезіндегі температураға және т.б. тәуелді болғандықтан, оларды арнаулы машиналарда стандартталған шарттар сақтауымен жүргізеді.

Ең кеңінен таралған сынаулар – статикалық жүктеме әсерінен созылуға сынаулар, өйткені олар ең қарапайым болып келеді және материал деформацияның басқа түрлерін қалай қабылдайтыны туралы айтуға мүмкіншілік береді.

Сынаулар үшін цилиндрлік және жазық үлгілер қолданылады (8.8 сурет). Әдетте цилиндрлік үлгілердің өлшемдері d₀=20 мм және l₀=10d₀ немесе l₀=5d₀ болып алынады.

Сынау кезінде созатын F күші мен үлгінің Δl ұзаруы арасындағы тәуелдіктің диаграм-масы жазылып отырады. Әртүрлі өлшемдерімен алынған үлгілер бойынша сынау нәтижелерін салыстыруға мүмкіншілік болу үшін F-Δl диаграммасының σ-ε диаграммасы ретінде қарасты-рады. Бұл нақты емес, өйткені σ=F/A₀ және ε=∆l/l₀ алынады (A₀, l₀ – үлгінің көлденең қимасының бастапқы ауданы мен оның бастапқы ұзындығы). Нақты σ мен ε A және l шамаларының ағымды мәндері арқылы анықталу керек болғандықтан, бұл σ-ε диаграммасын шартты созылу диаграммасы деп атайды.

8.9 суретте үздіксіз сызықпен аз көміртекті болаттың шартты созылу диаграммасы көрсетілген. ОА аралығында кейбір пропорционалдық шегі деп аталатын σ_пц шамасына дейін ε деформациясы σ кернеуіне пропорционал өседі, яғни Гук заңы орындалады (Ст3 болат үшін σ_пц≈ 200 МПа). Содан кейін диаграмма қисық сызықтыға айналады, сонда серпімділік шегі деп аталатын, σ_сер шамасына дейін материал өзінің серпімділік қасиетін сақтайды. σ_пц және σ_сер арасындағы айырмашылығы аз болғандықтан (Ст3 үшін σ_сер≈ 210 МПа), оларды қолдану кезінде айырмайды.

Жүктемені әрі қарай өсіріп тұрғанда, бір мезгілде (С нүктесі) деформациялар, жүктеме өспесе де өсе береді. Горизонталь СD аралығы аққыштық ауданы деп, ал сәйкес кернеу – σ_ақ аққыштық (немесе жұмсару) шегі деп аталады (Ст3 үшін 240…400 МПа).

Содан кейін диаграмма жоғары кетеді, материал созуға қарсыласу қабілетіне қайта ие болады. Е нүктесінде ең жоғары шартты кернеуге жетеміз, ол σ_б беріктік шегі деп немесе уақытша қарсыласуы деп аталады(Ст3 үшін σ_б=400…500 МПа). Сонда үлгіде мойнақ деп аталатын жергілікті жіңішкеру орын алады (8.3,б сурет). Үлгі мойнағындағы қимасының ауданы тез азаяды, соның себебінен күш пен σ шамалары төмен түседі. Үлгінің үзілуі ең кіші қимасы бойымен болады. Беріктік шегі үлгі үзілетін кездегі кернеуге тең емес. Егер созатын күштің A₀ ауданына емес, мойынның ауданына қатынасын тапсақ, онда үзілу алдын-дағы (S нүктесінде) мойындағы σ_шын кернеуі σ_б кернеуінен айтарлықтай жоғары болады.

Материал беріктігінің қарастырылған сипаттамаларымен қатар сынау арқылы үлгі үзілгендегі δ салыстырмалы қалдық ұзаруын анықтайды, ол материалдың пластикалық қасиетінің сипаттамасы болып келеді

(8.21)

мұндағы l₀ – үлгінің бастапқы есептеу ұзындығы;

l₁– үлгі үзілгеннен кейін, оның есептеу ұзындығы.

Ст3 үшін δ ≥24%, жоғары берікті болаттар үшін δ=(7…10)%. Бұл ұзаруы орташа алынады, шынайы ұзаруы үзілген жерде орын алады.

Айтарлықтай үлкен пластикалық деформацияларды зерттеу үшін шынайы созу диаграммасын білу қажет (8.9 суреттегі OCS қисығы).

Қарастырылған созылу диаграммасы пластикалық материалдарды, яғни қирамай тұрғанда айтарлықтай қалдық деформацияларға ие бола алатын мате-риалдарды сипаттайды. Пластикалық қасиеті жоғары материалдарға мыс, алюминий, латунь, аз көміртекті болат және т.б. жатады, пластикалық қасиеті аз материалдарға – легирленген болаттардың көпшілігі. Кейбір пластикалық материалдардың созылу диаграммаларында аққыштық ауданы болмайды; олар үшін шартты аққыштық шегі қолданылады - ол қалдық деформация-сының кейбір шамасына сәйкес келетін кернеу. σ_0,2 шартты аққыштық шегі 0,2% тең қалдық деформациясына сәйкес болады.

Пластикалық қасиетіне керісінше морт қасиеті бар. Морт материалдар үшін δ шамасы 2-5%-дан аспайды. Морт материалдарға шойын, инструменттік болат, тас, бетон, шыны және т.б. жатады. Пластикалық және морт мате-риалдарға бөлу шартты екенін айта кету керек, өйткені сынау шарттарына (жүктелу жылдамдығына, темпе-ратураға) және кернеулі күйіне тәуелді морт материал-дардың биімділігі пластикалық материалдар секілді, ал пластикалық материалдардың биімділігі морт материалдар секілді болуы мүмкін. Мысалы, шойыннан жасалған үлгі жан-жақты сығу кезінде пластикалық қасиетіне ие болады. Ал болаттан жасалған қырнауы бар үлгі, оның δ қалдық деформациясы салыстырмалы кішкене болғанда сынады.

Морт материалдардан жасалған үлгілердің созылу диаграммаларының бір қатар ерешеліктері болады (8.11 сурет). Мұнда Гук заңынан ауытқуы өте ерте басталады. Үзілу өте аз деформациялар кезінде мойыны болмай аяқ астынан келіп қалады. Сынау кезінде тек қана σ_б беріктік шегін анықтайды. Есептеу жүргізгенде қисық сызықты диаграммасын түзу сызықты диаграммасына ауыстырып, Гука заңынан ауытқуы ескерілмейді. σ_б шамасына үлгінің өлшемдері байқалатын әсерін тигізеді, ол масштаб коэффициенті арқылы бағаланады.

8.6 Сығылу диаграммалары

Мұнда үлгілер текше немесе биік емес цилиндрлер (h≤ 3d) түрінде алынады, керісінше иілу пайда болуы мүмкін. Өте қысқа үлгілерді де пайдалануға болмайды, өйткені шеткі беттеріндегі үйкеліс күштері бірталай әсерін тигізеді.

Морт материалдар үшін сығылу диаграммасының түрі созу диаграммасымен бірдей болады. Диаграмма бойынша σ_б мен δ анықталады, сонда сығу кезіндегі беріктік шегі созылу кезіндегі беріктік шегінен әдетте артық болады.

8.8 сурет

8.12 суретте пластикалық материалдың типтік сығылу диаграммасы көрсетілген. Басында ол созу диаграммасымен бірдей болады, кейін тікшіл көтеріледі, үлгі жалпаяды және қирамайды. Пластикалық материалдар үшін соылзу және сығылу кезіндегі аққыштық шектері бірдей болады.

8.7 Созылу-сығылу кезіндегі беріктік шарты. Есептердің үш түрі

Созылуға және сығылуғасынаулары нәтижесінде алынған мате-риалдардың механикалық қасиеттерін конструкция элементтерін есептеу кезінде қалай қолдануға болатынын қарастырайық.

Ең кең таралған әдіс – кернеулер бойынша беріктікке есептеу әдісі. Осы әдісте есептеу конструкцияда орын алатын кернеулердің ең үлкен кернеуі бойынша жүргізіледі, максималды кернеу материал үшін шекті шамасынан аспау керек σ_max<σ_шек, сонда беріктіктің кейбір кепілдігі ескерілу керек, сондықтан беріктік шарты келесі түрде орындалу керек

σ_max≤[σ]. (8.22)

Мұнда [σ] – қауіпсіз кернеу, ол шекті кернеудің кейбір бөлігі ретінде анықталады

(8.23)

мұндағы [n] – беріктік кепілдігінің нормативтік мәні, ол конструкция жауапкершілігінің дәрежесіне, есептеу сұлбасының нақтылығына, жобалау тәжірибесіне, конструкция жұмысының шарттарына тәуелді беріледі. Сонда әрқашан [n] >1,0 , оның мәндері конструкцияның әртүрлі элементтері үшін нормативтік құжаттарда беріледі.

Конструкцияда білінетін қалдық деформациялар болмауы үшін пластикалық материалдардан жасалған конструкция элементтеріне σ_шек мәні созылған жағдайда , сығылған жағдайда тең деп алынады. Морт материалдарға және кейбір жағдайдабірыңғай пластикалық материалдарға σ_шек ретінде созылу немесе сығылу кезіндегі сәйкес немесе беріктік шегі алынады.

Осы әдіс бойынша беріктік шартының басқа түрі

n≥[n] (8.24)

мұндағы n – шынайы (есептеу) беріктік кепілдігі, ол n=σ_шек/σ_max формуласымен анықталады.

Сонымен, созылу-сығылу кезіндегі (8.22) беріктік шарты келесі түрге келтіріледі

.(8.25)

Беріктік шартын қолданып, келесі есептерді шешуге болады:

а) тексеру есептері. Мұнда берілген жүктеме мен сырықтың көлденең қимасының өлшемдері бойынша шынайы кернеулерді анықтап, оларды қауіпсіз кернеулермен салыстырады, сонда тікелей (8.4) шартының орындалуы тексеріледі. Кернеулер асып кетсе, беріктік қамсыздандырыл-майды, сондықтан мұндай жағдайға тыйым салынады, ал кернеулер аз болуы материалдың артық шығынына алып келеді;

б) жобалау есептері. Берілген жүктеме мен қаупсіз кернеу бойынша беріктік шартын қанағаттандыратын сырықтардың көлденең қималарының өлшемдерін анықтайды

;(8.26)

в) жүк көтеру шегін (жүк көтеру қабілетін) анықтау есептері. Мұнда сы-рық көлденең қимасының берілген өлшемдері мен берілген қауіпсіз кернеу бойынша қауіпсіз бойлық күшті анықтайды

, (8.27)

содан кейін бойлық күш пен жүктеме арасындағы байланысты анықтап (статиканың тепе-теңдік теңдеулерінің қолдануымен), қауіпсіз жүктемені табуға болады.

Сығылған сырықтар беріктікке есептелуімен қатар орнықтылыққа да есептелу керек екенін айтқан жөн, өйткені сығушы күштің кейбір мәнінде сырық иіліп кетуі мүмкін (орнықтылықтан айырылу).

Қауіпсіз кернеу әдісіндегі қабылданған критерий (нүктедегі кернеу) конструкция қирауының шарттарын кейбір жағдайларда сипаттамайтынын айтып кету керек. Сол жағдайларда критерий ретінде жүйе қирамай және формасын айтарлықтай өзгертпей, көтере алатын шекті жүктемені алған дұрыс.

8.8 Кернеулердің шоғырлануы

Көлденең қимасы айнымалы сырықтардың есептелуі қимасы тұрақты сырықтардың есептелуімен бірдей жүргізіледі. Көлденең қималарында тек қана бірқалыпты таралған тік кернеулер орын алады, ал бойлық қималар кернеуден бос деп есептеледі.

Сырықтың қимасы кенет өзгеретін жағдайда (ойық, қуыс, тесік және т.б. қасында), кернеулердің таралуы қарапайым созылуға сәйкес болмайды (8.13 сурет). Қарапайым созылу кезінде орын алатын кернеулердің бірқалыпты таралу заңынан қөлденең қиманың кенет өзгеретін орнының қасында ауытқуы кернеулердің шоғырлануы деп аталады. Кернеулердің шоғырлануы келесі арқылы білінеді:

а) көлденең қималарда σ таралуы бірқалыпты емес, олар қима өзгеретін орнының қасында ең үлкен мәндеріне ие болады;

б) көлденең және бойлық қималарында σ да, τ да болады.

Шоғырландырғыштардағы кернеулердің таралу заңын анықтау үшін серпімділік теориясының әдістері мен тәжірибелік әдістер қолданылады. Әдетте теориялық шоғырлану коэффициентін анықтайды α=σ_max/σ₀, ол қимадағы ең үлкен кернеу номинал σ₀=F/A_нетто кернеуден неше есе артық екенін көрсетеді. α мәндері анықтамаларда беріледі (ол тек қана шоғырландырғыштың геометриясына тәуелді).

α коэффициентін білу бөлшекті беріктікке есептеу үшін жеткіліксіз болады. Егер материал Гук заңына қирауға дейін бағынып тұратын болса, онда берік-тігі α есе төмеңдейтін бола-тын еді; бірақ практикада – α -дан аз есе төмендейді. Сондықтан тәжірибелік түрде тиімді шоғырлану коэффициенті анықталады, ол шоғырландырғышы бар үлгінің беріктік шегі шоғырландырғышсыз үлгінің беріктік шегінен неше есе аз болатынын көрсе-теді k_σ = σ_б/σ_бш. Пластикалық материалдан жасалған сырықтың статикалық жүктеме жағдайында беріктігін есептеу кезінде кернеулер шоғырлануы ескерілмейді, яғни k_σ =1 алынады және беріктік шарты осылай жазылады . Бұл пластикалық материалдың жүк көтеру қабілетінің тек қиманың барлық нүктелеріндегі кернеу σ_ақ мәніне жеткенде ғана жойыла-тынына байланысты. F күші жәймендеп өскенде максималды кернеу σ_ақ мәніне жеткеннен кейін, тесіктің қасындағы кернеулер, аққыштық шегінің ауданы өтілмей өсе алмайды, ал бойлық талшықтар еркін жағдайда секілді ұзара алмайды, өйткені олар қысылыңқы болады. Жүктеме өсуімен бойлық күш те өсу керек – ол σ < σ_т болатын талшықтардағы кернеулердің өсуі арқылы орындалады, сонда аққыштық аймағы, барлық нүктелерде σ=σ_т болғанға дейін артады, сонда жалпы аққыштық орын алады. Сонымен, шекті қалпының шынайы жағдайы кернеулер шоғырлануыны болмаған жағдайдағы қалпымен бірдей болады.

Морт материалдар үшін кернеулердің шоғырлануы бөлшектердің беріктігін біраз төмендетеді (мысалы, шыны кесу кезінде шыны кескіштің қалдырған сызығы шоғырландырғыш болып келеді).

9 дәріс. Таза ығысу. Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

Дәрістің мазмұны: таза ығысу, бұраушы момент, бұралу кезіндегі кернеулер мен деформациялар, беріктікке және қатаңдыққа есептеу.

Дәрістің мақсаты: таза ығысудың ерекшеліктерін, дөңгелек және сақина тәрізді көлденең қималы сырықтардың бұралуы механикасын игеру, беріктікке және қатаңдыққа есептеу формулаларын алу.

9.1 Таза ығысу кезіндегі кернеулер мен деформациялар

Таза ығысу – денеден бөліп алынған элементтің беттерінде тек қана t жанама кернеулері болатын кернеулі күй (9.1,а сурет). Біртекті таза ығысу жұқа қабырғалы цилиндрдің бұралу кезінде орын алады (9.2 сурет).

Егер таза ығысудағы эле-менттен оның бет-терімен 45º жасайтын беттері бар элементті қиып алсақ, оның беттерінде жанама кернеулер жоқ болып, тек қана тік кернеулер орын алатынын дәлелдеуге болады (9.1,б сурет). Сонда қарама-қарсы беттерінің бір жұбында кернеулер созушы (σ’=t), екінші жұбында сығушы (σ”=-t) болады.

Алдында айтылғандай, t жанама кернеуі мен γ бұрыштық деформациясы Гук заңы бойынша байланысады

t=G∙γ. (9.1)

Таза ығысу кезінде элементтердің қабырғаларының ұзындықтары өзгермейтінін және элемент қөлемінің өзгерісі де нөлге тең екенін дәлелдеуге болады.

Материалдарды созылу мен сығылуға сынаулары секілді таза ығысуға да сынау жүргізіледі. Ол үшін моменттермен бұралатын жұқа қабырғалы құбыр тәрізді үлгілер қолданылады. Нәтижесінде t мен γ координаттарындағы шартты ығысу диаграммасын алады, ол созу диаграммасына ұқсас болып келеді, сонда пластикалық металдар үшін аққыштық шегі t_ақ=(0,5…0,55)σ_ақ.

Таза ығысуға жақын кернеулі күй шегендерде, саңылаусыз қойылатын болттарда, шпонкаларда, шлицаларда, пісірілмелі біріктірмелерде орын алады.

9.2 Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

Бұралу - сырықтың көлденең қималарында тек қана М_бұр бұраушы моменты орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрі. Бұралу әдетте сырық, әсер ету жазықтықтары сырықтың өсіне перпендикуляр күштер жұптарымен (бұрайтын моменттермен) жүктелген кезде орын алады. Бұраушы моменттердің эпюрін қималар әдісі қолдануымен тұрғызады, сонда М_бұр қарастырлатын қиманың бір жағындағы бөлікке түсірілген күштер жұптарының сырықтың бойлық өсіне қатысты моменттерінің қосындысына тең болады

М_бұр = ∑M_i. (9.2)

Таңбалар ережесі: егер қиманың сырт-қы нормалі жағынан қарағанда М_бұр сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытталса, ол оң, керісінше жағдайда теріс болып есептеледі. Сонда (9.2) формуласының оң жағындағы сыртқы моменттер қарсы ережемен алыну керек. 9.3 суретте М_бұр эпюрін тұрғызу мысалы көрсетілген.

Сырықты (білікті) есептеуінде әдетте сыртқы моменттердің шамаларына тәуелді кернеулер мен бұ-рыштық орын ауыс-тыруларды анықтау керек. МК-нің әдісте-рімен тек қана көл-денең қималарының пішіні дөңгелек немесе сақина тәрізді сырық үшін (біз тек осы жағдайды қарастырамыз) және жұқа қабырғалы сырықтар үшін шешім табылады.

Көлденең қимасы дөңгелек болып табылатын сырық жағдайында оның әр көлденең қимасы өзі-нің жазықтығында қатты диск секілді кейбір бұрышқа бұрылады деп есептейміз (жазық қималар гипотезасы).

Шеттеріне M моменттері түсірілген, көлденең қимасының пішіні дөңгелек сырықты қарастырайық (9.4,а сурет). Оның көлденең қималарында тұрақты М_бұр=M бұраушы момент орын алады. Екі көлденең қима арқылы сырықтан ұзындығы dz элементті қиып аламыз, ал одан r және (r + dr) радиустерімен екі цилиндрлік беттер арқылы, элементар сақинаны қиып аламыз (9.4,в сурет). Бұралу нәтижесінде сақинаның оң жақ қимасы dφ бұрышына бұрылады. Сонда цилиндрдің АВ жасаушысы g бұрышына бұрылып, АВ ¢ орнын алады. BВ ¢ доғасы бірінші жақтан r ∙dj тең, екінші жақтан - g ∙dz тең. Сондықтан,

. (9.3)

g бұрышы t жанама кернеулері әсерінен цилиндрлік беттің ығысу бұры-шы болып келеді. Келесі шама

(9.4)

салыстырмалы бұралу бұрышы деп аталады. Бұл екі қиманың өзара бұрылу бұрышының олардың арақашықтығына қатынасы.

(9.3) және (9.4) формулаларынан келесі алынады

g = r∙θ. (9.5)

Ығысу кезіндегі Гук заңы бойынша

τ=G ∙r∙θ (9.6)

мұндағы t - сырықтың көлденең қимасындағы жанама кернеулер. Олар-ға жұпталатын кернеулер бойлық жазықтарда орын алады (9.4,г сурет).

Келесі тәуелдік болатыны анық (9.5 сурет) . (9.6) ескерумен аламыз. Мұндағы интеграл қиманың тек геометриялық сипаттамасы болып келеді, ол қиманың полюстік инерция моменті деп аталады

. (9.7)

Сонымен, немесе

. (9.8)

шамасы сырықтың бұралу кезіндегі қатаңдығы деп аталады.

(9.8) формуласынан (9.4) ескеруімен мынаны аламыз

. (9.9)

Егер М_бұр мен сырық бойымен тұрақты болса, онда (9.9) формуласынан келесіге келеміз

. (9.10)

(9.8) формуласын (9.6)-ға қойып, кернеулердің өрнегін аламыз

. (9.11)

Сонымен, жанама кернеулер радиус бойымен сызықты заңмен таралады, олардың максималды мәндері центрден ең алыста жатқан нүктелерінде болады. Сонда

немесе . (9.12)

Келесі шама

(9.13)

сырықтың көлденең қимасының полюстік қарсыласу моменті деп аталады. (9.10), (9.12) формулалары дөңгелек және сақина тәрізді қималар үшін орын алады.

Дөңгелек қиманың полюстік инерция моментін (9.7) қолдануымен, элементар ауданы dA=2π∙ρ∙dρ тең деп алып, таба аламыз (9.4 сурет). Сонда

немесе .(9.14)

Дөңгелек қиманың полюстік қарсыласу моментін табамыз

. (9.15)

Сақина тәрізді қима үшін (сыртқы диаметрі D және ішкі диаметрі d болса) келесіні аламыз

.(9.16)

. (9.17)

Бұралу кезіндегі беріктік және қатаңдық шарттары келесі түрде жазылады

, (9.18)

немесе (9.19)

мұндағы [τ], [φ], [θ] – сәйкес қауіпсіз жанама кернеу, қауіпсіз толық және қауіпсіз салыстырмалы бұралу бұрыштары.

9.1 мысал – Болаттан жасалған қимасы дөңгелек сырық үшін (9.3 сурет) беріктік шартынан, [τ] = 100 МПа, M₁=2 кН∙м, M₂=3 кН∙м, M₃=9 кН∙м, M₄=4 кН∙м алып,сырық диаметрін тандап алу керек.Қабылданған диаметрдің мәні бойынша, [θ]=3 град/м, болат үшін ығысу модулін G=8∙10⁴ МПа алып, қатаңдық шартын тексеру керек

Шешуі. Сырықтың көлденең қимасы тұрақты болғандықтан, қауіпті қималар, сол жақтан санағанда екінші аралықта болады, өйткені сол аралықта бұраушы момент ең үлкен мәніне ие болып тұр: M_бұр2 = 5 кН∙м.

(9.18) беріктік шартынан м табамыз. Артығымен жуық-тап, келесі шаманы қабылдаймыз D = 65 мм.

Көлденең қиманың полюстік инерция моментін анықтаймыз J_p=π∙D⁴/32=1,785∙10^-5 м³. Қатаң-дық шартын тексереміз =2,01 град/м < [θ]=3 град/м, яғни қатаңдық шарты орындалады.

10 дәріс. Көлденең қималардың геометриялық сипаттамалары. Иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары

Дәрістің мазмұны: жазық фигуралардың статикалық моменттері, ауырлық центрі, инерция моменттері, бас инерция өстері мен бас инерция моменттері; иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары.

Дәрістің мақсаты: сырық көлденең қималарының иілу теориясында қолданылатын геометриялық сипаттамаларын игеру; июші моменттер мен көлденең күштердің эпюрлерін тұрғызу ерекшеліктерін игеру.

10.1 Жазық фигуралардың статикалық моменттері мен оның ауырлық центрі

Кейбір жазық фигураны x, y координат жүйесінде қарастырайық (10.1 сурет). Келесі интег-ралдар

, ( 10.1)

фигураның сәйкес x және y өстеріне қатысты ста-тикалық моменттері деп аталады.

Координаттық өстерді параллель орын ауыс-тырса, қиманың статикалық моменттері қалай өзге-ретінін анықтайық (10.2 сурет). x₂ = x₁ - a; y₂ = y₁ – b болатыны анық.

Сонда

,

.

а мен b шамаларын, мен стати-калық моменттері нөлге тең болатындай, таңдап алуға болады (тек бір ғана ретімен). Центрлік өс деп оған қатысты статикалық момент нөлге тең болатын өсті атайды. Центрлік өстерінің қиылысу нүктесі қиманың ауырлық центрі деп аталады.

(x₁, y₁) координат жүйесінде ауырлық центрінің координаттары осыған тең

, . (10.2)

Құрама қиманың статикалық моменті оны құраушы аймақтарының статикалық моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

10.2 Қиманың инерция моменттері

10.1 суретке қайта оралып, келесі үш интегралды қарастырайық

, (10.3)

, (10.4)

. (10.5)

Алдыңғы екі интеграл қиманың сәйкес x және y өстеріне қатысты өстік инерция моменттері, ал үшіншісі - центрден тепкіш (немесе өрістік) инерция моменті деп аталады. Өстік инерция моменттері әрқашан оң шама, ал центр-ден тепкіш момент оң да, теріс та болуы мүмкін.

Координаттық өстерді параллель орын ауыстырса (10.2 сурет), инерция моменттері келесі формулаларға сәйкес өзгереді

, (10.6)

, (10.7)

. (10.8)

Егер x₁ мен y₁ - цен­трлік өстер болса, онда және

, (10.9)

, (10.10)

. (10.11)

Сонымен, өсті параллель орын ауыстырғанда, олардың біреуі центрлік өс болса, өстік инерция моменті ауданның өстер арақашықтығының квадратына көбейтінсіне тең шамаға өзгереді. Сонда параллель өстер жиыны үшін центрлік өске қатысты инерция моменті минималды мәніне ие болады.

10.1 мысал –Тік төртбұрыштың x₁, y₁ және x, y өстеріне қатысты өстік инерция моменттерін анықтау керек (10.3 сурет).

Шешуі. Элементар dA ауданы ретінде b енімен және dy биікті-гімен тік төртбұрышты алайық. Сонда

.

(10.9) формуласы бойынша

. (10.12)

Дәл солай келесіні анықтаймыз , . Мұнда x пен y симмет-риялық өстері болғандықтан, сәйкес центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең , ал x₁ мен y₁ өстеріне қатысты .

Құрама қиманың инерция моменті оны құраушы аймақтарының инерция моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

10.3 Бас инерция өстері мен бас инерция моменттері

x пен y координаттық өстерін u мен v орнына келтіріп бұрғанда, жазық қиманың инерция моменттері қалай өзгертінін қарастырайық. 10.4 суреттен келесіні анықтай аламыз

u = y∙ sin a + x ∙ cos a; v = y∙ cos a - x∙ sin a . (10.13)

Осы өрнектерді

, ,

ескерілуімен түрлендіріп, келесіге келеміз

, (10.14)

, (10.15)

. (10.16)

Алдыңғы екі теңдеуді қосып, келесіні аламыз

(10.17)

Сонымен, өзара перпендикуляр өстерге қатысты өстік инерция моменттерінің қосындысы өстер бұрылғанда тұрақты болып қалады және жазық фигураның полюстік инерция моментіне тең.

(10.17) қолдануымен дөңгелек қиманың диаметріне қатысты өстік инерция моментін анықтауға болады. Симметрия себебінен , сонда

(10.18)

a бұрышы өзгеруімен және өзгереді, ал олардың қосындысы тұрақты болады, сондықтан олардың біреуін немесе , өзінің максимал-ды мәніне, екіншісін минималды мәніне ие болдыратынбұрыштың a=a₀ мәнін табуға болады. a₀ табу үшін немесе экстремумге зерттейміз. Сонда келесі табылады

. (10.19)

a=a₀ болғанда біржолы центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең болатынын көрсетуге болады. Егер өстерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең, ал өстік инерция моменттері экстремалды мәндерін алатын болса, онда сол өстер бас инерция өстері деп аталады. Бас инерция өстеріне қатысты өстік инерция моменттері бас инерция моменттері деп аталады. Олар (10.14), (10.15) және (10.19) қолдануымен келесідей табылады

. (10.20)

Жазық фигураның кез келген l өсіне қатысты инерция радиусы деп келесі формуламен анықталатын шаманы атайды

. (10.21)

10.4 Иілу. Иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары

Иілу деп көлденең қималарында июші момент M пайда болатын сырықтың жүктелу түрін атайды. Егер сонда барлық ІКФ нөлге тең болса, онда таза иілу орын алады дейміз. Жиі M июші моментімен қатар Q көлденең күші болады, сонда көлденең иілу орын алады.

Иілу есептерін шешуінде ішкі күштер факторларының эпюрлерін тұрғызуды білу керек. Ол үшін қималар әдісі қолданылады. Деформацияға дейін өсі горизонталь орналасқан сырықтың оған түсірілген актив күштер вертикаль (yz) жазықтығында жататын жағдайдағы иілуін қарастырайық.

Арқалықтың кез келген қимасындағы көлденең күш қиманың бір жағындағы (арқалықтың қарастырылатын қимамен кесіліп алынған бір бөлігіне түсірілген) сыртқы күштердің вертикаль өсіне проекцияларының қосындысына тең болады

. (10.22)

Көлденең күш үшін таңбалар ережесі: егер қиманың сол жағындағы сыртқы күштердің тең әсерлі күші төменнен жоғары қарай бағытталса (10.5,а сурет), онда Q оң шама, керісінше жағдайда теріс шама болады. Оң жақтағы бөлік үшін ереже қарсы болады.

Июші момент қиманың бір жағындағы (арқалықтың қарастырылатын қимамен кесіліп алынған бір бөлігіне түсірілген) сыртқы күштердің сол қиманың көлденең өсіне қатысты моменттерінің қосындысына тең болады

. (10.23)

Июші момент үшін таңбалар ережесі: M эпюрін сығылған талшық үстінде тұрғызады, яғни M ординатасын сырықтың серпімді сызығының ойыс жағына қарай көрсетеді (10.5,б сурет). Егер сыртқы күш (немесе күштер жұбы) сырықты дөңес жағымен төмен қарай майыстыруға тырысса, онда оның моментін (10.23) формуласында оң таңбасымен алу керек, керісінше жағдайда – теріс таңбасымен.

10.2 мысал -10.6,а суретте көрсетілген сырық үшін эпюрлерді тұрғызуын қарастырайық. Есеп шешуін сыртқы күштердің толық жүйесін анықтаудан бастаймыз. Ол үшін тіректерді алып тастап, оларды сәйкес реакцияларына ауыстырамыз ( 10.5,б сурет).

Тепе-теңдік шарттарынан тіректердегі реакцияларды анықтаймыз , .

Сол жақ тірегінен z қашықтығында С қимасын жүргізіп, ойша сырықты екі бөлікке айрамыз да, сол жақ бөлігін қарасты-рамыз. Сонда алып тастаған бөліктің әсерін Q күші мен M моментіне ауыстырамыз. (10.22) мен (10.23) бойынша келесіні табамыз

, .

Оң жақ аралығы үшін келесі шығады

, .

10.7 суретте бірінші аралық үшін (0 £ z £ a) және екінші аралық үшін (a £ z £ a + b) табылған өрнектері бойынша тұрғызылған эппюрлер көрсетіледі.

10.5 Июші момент пен көлденең күш арасындағы дифференциалдық тәуелдіктер

q(z) қарқындылығымен таралған күшпен жүктелген (10.8,а сурет) сырықты қарастырайық. Көрсетілген q бағытын оң деп есептейміз. Сырықтан қиып алған dz элементі үшін (10.8,б сурет) тепе-теңдік теңдеулерін құрып және одан екінші ретті шексіз аз шамаларын алып тастап, таралған күш қарқындылығы, көлденең күш пен июші момент арасындағы Журавскийдің дифференциалдық тәуелдіктерін аламыз

, , . (10.24)

(10.24) өрнектерінен келесі қорытындылар шығады. Дербес жағдайда, егер q = const болса, онда Qz аргументінің сызықты функциясы, ал M - екінші дәрежелі функциясы болады. Егер сырықтың кейбір аралығында таралған күш болмаса (q = 0), онда Q = const, ал M - z аргументінің сызықты функциясы болады.

Қадалған күш түсірілген қимада Q эпюрінде сыртқы күштің шамасына тең үзік орын алады. Егер аралықта Q таңбасы өзгеретін болса, онда Q нөлге тең болатын қимада M функциясы экстремалды мәніне ие болады. Сыртқы момент түсірілген қимада M эпюрінде сыртқы моменттің шамасына тең үзік орын алады.

11 дәріс. Иілу кезіндегі кернеулер және беріктікке есептеу. Иілу кезіндегі орын ауыстырулар

Дәрістің мазмұны:таза және көлденең иілу кезіндегі кернеулер және беріктікке есептеу; қиғаш иілу, центрден тыс созылу (сығылу), иілу мен бұралудың біріккен әсері.

Дәрістің мақсаты:иілу кезіндегі беріктік шартын анықтау; күрделі қарсыласу кезіндегі беріктікке есептеуін қарастыру.