Динамика аксиомалары

Динамика деп материялық денелердің, олардың инерциясын есепке алуымен күштер әсерінен пайда болатын қозғалысын қарастыратын теориялық механиканың бөлімін атайды. Инерция деп материялық дененің өзінің қозғалыс немесе тыныштық қалпын күштер түспеген кезде сақтап қалу қасиетін айтады. Ілгерілемелі қозғалыстағы дененің инерциясының өлшемі болып табылатын зат мөлшеріне тәуелді физикалық шама дененің массасы m деп аталады.

Нүкте динамикасы 4 аксиомаға негізделеді.

1-аксиома (инерция заңы): күштер түспейтін материялық нүкте (МН), оған күштер түсіп, қалпын өзгерткенге дейін тыныштықта немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болады. Күштер болмағандағы нүктенің қозғалысы инерциялық қозғалыс деп аталады. Инерция заңы орындалатын санақ жүйесі (СЖ) инерциялық СЖ деп аталады. Көптеген есептерде Жермен байланысқан СЖ инерциялық деп алынады.

2-аксиома (динамиканың негізгі заңы): МН-нің үдеуі оған түсетін күшке пропорционал және сол күшпен бағыттас. Динамиканың негізгі теңдеуі

. (5.1)

3-аксиома (әсер мен кері әсер заңы): екі МН бір-біріне модульдері тең және нүктелерді қосатын түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді.

4-аксиома (күштер әсерінің тәуелсіздік заңы): әр күш бөлек түскенде МН алатын үдеулердің векторлық қосындысы барлық күштер біржолы түскенде алатын үдеуіне тең

(5.2)

(5.2) теңдеуінің орнына (5.1) теңдеуін, күші ретінде тең әсерлі күшті алып, қолдануға болады.

Ауырлық күш әсерінен денелер бірдей үдеуіне ие болады, ол ауырлық күш үдеуі немесе еркін түсу үдеуі деп аталады. Егер МН-ге тек қана ауырлық күші түсетін болса, онда (5.1) бойынша

. (5.2)

Дененің массасы оның орналасуына және оған түсетін күштерге тәуелсіз, ал дененің салмағы дене орнының географикалық еніне және оның Жер орталығына дейінгі қашықтығына тәуелді еркін түсу үдеуінің өзгеруімен өзгеріп тұрады.

5.2 Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

МН { } күштер жүйесінің әсерінен инерциалдық Оxyz санақ жүйесіне қатысты қозғалатын болсын, және күштер арасына байланыстардың реакциялары да кіреді деп есептейміз.

(5.2) теңдеуін декарт координат өстеріне проекциялап, декарт координаттарындағы қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) аламыз

(5.3)

табиғи өстерге проекциялап, нүкте қозғалысының табиғи дифференциалдық теңдеулерін аламыз

; (5.4)

ҚДТ нүкте динамикасының екі негізгі есебін шешу үшін қолданылады:

1-негізгі есеп: нүкте қозғалысы бойынша оған түсетін күшті анықтау. Мұнда МН қозғалысының теңдеулерін дифференциалдап, нәтижелерін (5.3) немесе (5.4) теңдеулеріне қою керек, содан нүктеге түсетін күш анықталады;

2-негізгі есеп: нүктеге түсетін күштер бойынша оның қозғалысын анықтау. Мұнда жалпы жағдайда (5.3) немесе (5.4) дифференциалдық теңдеулерінің екінші интегралдарын табу керек. Дербес жағдайларда ҚДТ айнамалыларды бөлу әдісінің көмегімен интегралдалуы мүмкін.

5.3 Материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысы

Динамика заңдары тек қана инерциалдық СЖ-нде орындалады. Материялық нүктенің кейбір СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық және осы СЖ инерциалдық СЖ-не қатысты еркінше қозғалатын болсын. P нүктесі { } күштер әсерінен қозғалатын болсын. Инерциалдық СЖ-нде динамиканың негізгі (5.2) теңдеуі орындалады. Нүктенің абсолют үдеуі (5.17) формуласымен табылады

(5.5)

(5.5) теңдігін (5.4) теңдігіне қойып, түрлендіреміз

(5.6)

Келесі белгілерді қабылдаймыз

(5.7)

және (5.8)

және векторлары сәйкес тасымал және кориолис инерция күштері деп аталады.

(5.6) теңдігін келесі түрде жазуға болады

(5.9)

(5.9) теңдеуі МН-нің салыстырмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады. МН-нің салыстырмалы қозғалысының теңдеулері абсолют қозғалысының теңдеулері секілді, түсетін күштерге тасымал және кориолис инерция күштерін қосып, құрастырылады. Қозғалатын инерциалдық емес СЖ-нің бақылаушы тасымал және кориолис инерция күштерін шынайы әсер ететін күштер секілді қабылдайды. Бірақ ол дұрыс емес, өйткені инерциалдық емес СЖ үшін механиканың Ньютон заңдары орындалмайды, сондықтан құбылыстарды алдыңғы аксиомалар қолдануымен қарастыруға болмайды.

МН-нің салыстырмалы қозғалысы негізгі теңдеуінің дербес жағдайлары:

а) ілгерілемелі тасымал қозғалыс кезінде

(5.10)

б) түзу сызықты бірқалыпты тасымал қозғалыс кезінде

(5.11)

Мұнда (5.11) мен (5.2) бірдей болады, өйткені . Сондықтан, бұл санақ жүйесі инерциалдық болады. Механикалық тәжірибелер арқылы санақ жүйесі тыныштықта екенін немесе ілгерілемелі бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыста екенін анықтау мүмкін емес (Галилейдің салыстырмалылық принципі);

в) салыстырмалы тыныштық қалпында

(5.12)

Бұл МН-нің салыстырмалы тепе-теңдігінің теңдеуі.

5.4. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Динамиканың көптеген есептерін шешу кезінде ҚДТ-н интегралдаудың орнына динамиканың жалпы теоремаларын қолданған тиімділеу болады.

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасын қарастырайық. МН-нің қозғалыс мөлшері деп нүктенің массасы мен оның жылдамдығының көбейтіндісіне тең шаманы айтады. векторы нүктенің траекториясына жанама бағытталады.

Күштің элементар импульсі деп күштің элементар уақыт аралығына көбейтіндісін атайды

(5.13)

Импульс күштің әсер ету сызығы бойымен бағытталады. күшінің шекті t₁ уақыт ішіндегі импульсі

. (5.14)

Импульстің модулі мен бағытын оның проекциялары арқылы табуға болады

. (5.15)

Динамиканың негізгі теңдеуін келесі түрде жазуға болады

. (5.16)

Бұл дифференциалдық түрдегі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасы: нүктенің қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша туындысы нүктеге түсетін күштердің векторлық қосындысына тең. Шекті түрдегі сол теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір уақыт аралығында өзгеруі оған түсетін күштердің сол уақыт аралықтағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

. (5.17)

Есептерді шешу кезінде әдетте теңдеулердің проекциялары қолданылады.

5.5 Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір О центріне қатысты моменті деп келесі теңдікпен анықталатын векторлық шамасын айтады

(5.18)

мұндағы - қозғалыстағы нүктенің О центрінен жүргізілген радиус-векторы.

Сонда векторы және О центрі арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр бағытталады, aл модулі .

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің О центрінен өтетін Оz өсіне қатысты моменті векторының сол өске проекциясына тең

(5.19)

мұндағы g - векторы мен Оz өсі арасындағы бұрыш.

Теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір қозғалмайтын центрге қатысты алынған моментінің уақыт бойынша туындысы әсер ететін күштің сол центрге қатысты моментіне тең

. (5.20)

Өске қатысты моменттер теоремасы

. (5.21)

(5.20) теңдеуінен болса, болатыны шығады.

5.6 Күштің жұмысы. Күштің қуаты. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

М нүктесіне түсетін күшінің (5.1 сурет) элементар жұмысы деп, келесі скаляр шаманы айтады

dW = F_t ∙ds (5.22)

мұндағы F_t - күшінің М нүктесінің траекториясына нүктенің орын ауыстыру бағытымен жүргізілген Мt жанамасына проекциясы;

ds - М нүктенің элементар орын ауыстыруының модулі.

ds=|d | болғандықтан (мұндағы d - нүктенің элементар орын ауыстыру векторы), (5.22) теңдігін келесі түрде жазуға болады

dW= . (5.23)

Сонымен, күштің элементар жұмысы күштің оның түсу нүктесінің орын ауыстыру векторына скаляр көбейтіндісіне тең.

Күштің шекті M₀M₁ орын ауыстыруында (5.1 сурет) жұмысы төмендегідей анықталады

, (5.24)

. ( 5.25)

Күштің қуаты деп күштің уақыт бірлігінде жасайтын жұмысына тең шаманы айтады. Егер жұмыс бірқалыпты жасалатын болса, онда қуат P = W/t₁ (мұнда t₁ – W жұмысы жасалатын уақыт аралығы). Жалпы жағдайда

, (5.26)

яғни қуат күштің жанама құраушысының жылдамдыққа көбейтіндісіне тең.

Нүктенің кинетикалық энер­гиясы (КЭ) деп тең скаляр шаманы айтады. Теорема: нүктенің КЭ оның кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі нүктеге түсетін барлық күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының алгебралық қосындысына тең

. (5.26)

5.7 Нүкте үшін Даламбер принципі

Массасы m материялық нүктеге тең әсерлі күші деп белгіленген актив күштер және байланыстың реакциясы түсетін болсын. Осы күштер әсерінен нүкте инерциалдық СЖ-не қатысты кейбір үдеуімен қозғалады.

Келесі шаманы енгіземіз

, (5.27)

ол күштің өлшем бірлігіне ие болады. Модулі нүкте массасы мен оның үдеуінің көбейтіндісіне тең және сол үдеуге қарама-қарсы бағытталатын векторлық шама нүктенің инерция күші деп аталады. Сонда, егер кез келген уақыт мезгілінде нүктеге түсетін актив және реакция күштеріне инерция күшін қосса, алынған күштер жүйесі теңгеріледі, яғни

. (5.28)

Бұл МН үшін Даламбер принципін өрнектейді.

6 дәріс. Жүйе және қатты дене динамикасының негіздері

Дәрістің мазмұны:механикалық жүйе, оның массасы, массалар центрі және инерция моменттері; жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері; жүйе динамикасының жалпы теоремалары және жүйе үшін Даламбер принципі.

Дәрістің мазмұны:жүйенің динамикалық сипаттамаларын, қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерін, жүйе үшін негізгі динамика теоремаларын оқып үйрену.

6.1 Механикалық жүйе. Масса, массалар центрі және инерция моменттері

Механикалық жүйе (МЖ) деп өзара әрекеттесетін МН-лердің немесе денелердің жиынтығы аталады. Материалық дене оны құрайтын бөлшектердің МЖ-сі болып келеді. Нүктелерінің қозғалысы байланыстармен шектелмейтін МЖ еркін материялық нүктелердің жүйесі деп аталады. Жүйенің нүктелеріне қарастырылып отырған жүйеге кірмейтін денелерден түсетін , k= 1,2 …,n күштері сыртқы күштер деп аталады. Ішкі күштер деп жүйе нүктелері бір- біріне түсіретін , k= 1,2 …,m күштері аталады. Ішкі күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті нөлге тең болатынын көрсетуге болады. Бұдан ішкі күштер жалпы жағдайда теңгерілетіні шықпайды, өйткені олардың әсерінен жүйе нүктелерінің орын ауыстырулары болуы мүмкін (АҚД үшін теңгеріледі).

Жүйе массасы деп жүйе нүктелері массаларының қосындысын атайды

M=Σm_k. (6.1)

Жүйенің массалар центрінің орны (С нүктесі) келесі формулалармен анықталады

, (6.2)

. (6.3)

Дене үшін келесі болады , (6.4)

. (6.5)

Ауырлық күштердің біртекті өрісінде массалар мен ауырлық центрлері түйіседі.

МЖ-нің өске және нүктеге қатысты инерция моменттері деп келесі шамалар аталады

J_l=Σm_k∙h_k². (6.6)

J_O=Σm_k∙r_k² (6.7)

мұндағы h_k мен r_k – дененің массасы m_k нүктесінің l өсіне дейінгі және O нүктесіне дейінгі қашықтытары.

Қатты дене үшін өске және нүктеге қатысты инерция моменттері

, (6.8)

. (6.9)

Декарт өстеріне және координаттар басына қатысты инерция моменттері

J_x=Σm_k∙(y_k²+z_k²), J_y=Σm_k∙(x_k²+z_k²), J_z=Σm_k∙( x_k²+y_k²), (6.10)

J_O=Σm_k∙r_k²= Σm_k∙( x_k²+y_k²+z_k²). (6.11)

Координаттық жазықтықтарға қатысты инерция моменттері келесіге тең

J_xy=Σm_k∙ z_k², J_yz=Σm_k∙x_k², J_xz=Σm_k∙y_k². (6.12)

Келесі тәуелдіктер орын алатынын дәлелдеуге болады

2J_O= J_x+ J_y+ J_z, (6.13)

J_O= J_xy+ J_yz+ J_xz. (6.14)

Дене үшін инерция моменттері массалар бойынша интегралдармен анықталады

, , . (6.15)

Гюйгенс-Штейнер теоремасы: жүйенің кейбір z өсіне қатысты J_z инерция моменті сол өске параллель, массалар центрінен өтетін z_C өсіне қатысты жүйенің J_zC инерция моментінің және жүйенің M массасының өстердің d арақашықтығына көбейтіндісінің қосындысына тең

. (6.16)

Параллель өстер жиынтығы арасында массалар центрінен өтетін өске қатысты инерция моменті ең кіші болады.

6.2 Жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері. Жүйенің массалар центрі қозғалысы туралы теорема

МЖ-ге кіретін нүктелер үшін қозғалыстарының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) векторлық түрде жазуға болады

(6.17)

(6.17) өстерге проекциялап, өске проекциялары түріндегі ҚДТ-н аламыз. Жүйе үшін динамиканың негізгі есебін толық шешуі ҚДТ-н интегралдап, жүйенің әр нүктесінің қозғалыс теңдеулерін және байланыстардың реакцияларын анықтаудан тұрады. Бұны аналитикалық түрде тек қана дербес жағдайда, нүктелер саны аз болғанда орындауға болады, керісінше теңдеулерді сандық интергралдау керек. Бірақ көптеген есептерді шешкенде жүйе қозғалысын жалпы анықтайтын кейбір сипаттамаларын табу жеткілікті болады. (6.17) теңдеулерін қосып, келесіні аламыз

. (6.18)

(6.2) формуласын есепке алып, келесіге келеміз

. (6.19)

(6.19) жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теорема: жүйенің массалар центрі массасы жүйенің массасына тең және оған жүйенің барлық сыртқы күштері түсетін материялық нүкте секілді қозғалады. (6.19) теңдігін координаттық өстерге проекциялап, массалар центрі қозғалысының декарт координат жүйесі өстеріне проекцияларындағы дифференциалдық теңдеулерін табуға болады.

(6.19) теңдігінен ілгерілемелі қозғалыстағы денені массасы дененің массасына тең МН секілді қарастыруға болатыны шығады. Қалған жағдайларда денені МН секілді тек дене қозғалысының айналмалы бөлігін ескермеуге болса ғана қарастыруға болады. МЖ-нің массалар центрі қозғалысының заңын анықтаған кезде белгісіз ішкі күштерді қарастырмауға болады.

Теореманың салдары (жүйенің массалар центрі қозғалысының сақталу заңы): ішкі күштер жүйенің массалар центрінің қозғалысын өзгертпейді.

6.3 Жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Жүйенің қозғалыс мөлшері (ЖҚМ) деп келесі шаманы атайды

. (6.20)

Мынаны көрсетуге болады

, (6.21)

яғни ЖҚМ жүйе массасының оның массалар центрінің жылдамдығына көбейтіндісіне тең. Егер жүйе қозғалысында оның массалар центрі қозғалмай тұрса, онда ЖҚМ нөлге тең (мысалы, дененің массалар центрінен өтетін тұрақты өсті айналатын дене жағдайында). Егер дене қозғалысы күрделі болса, ЖҚМ-ң шамасы дененің массалар центрі төңірегіндегі айналмалы қозғалысына тәуелсіз (домалайтын дөңгелек үшін айналуына тәуелсіз ).

Дифференциалдық түрдегі ЖҚМ-нің өзгеруі туралы теоремасы: ЖҚМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық сыртқы күштерінің векторлық қосындысына тең

. (6.22)

Интегралдық түрдегі теорема: ЖҚМ-нің кейбір уақыт аралығында өзгерісі жүйеге түсетін сыртқы күштерінің сол уақыт аралығындағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

. (6.23)

Салдары (ЖҚМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМ-н өзгертпейді, сондықтан есептерді шешу кезінде ішкі күштерді қарастырмауға болады.

6.4 Қозғалыс мөлшерлерінің бас моментінің өзгеруі туралы теорема

Берілген О центріне қатысты жүйенің қозғалыс мөлшерлерінің бас моменті (ЖҚМБМ) немесе кинетикалық моменті деп жүйенің барлық нүктелерінің қозғалыс мөлшерлерінің сол центрге қатысты моменттерінің векторлық қосындысына тең шамасы аталады

. (6.24)

Дәл солай координаттық өстерге қатысты қарастырамыз

, , . (6.25)

ЖҚМБМ-нің өзгеруі туралы теорема (моменттер теоремасы): кейбір қозғалмайтын центрге қатысты ЖҚМБМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық күштерінің сол центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең

. (6.26)

Қозғалмайтын Охyz өстеріне проекциялап, проекциялардағы теореманы аламыз.

Теорема дененің айналмалы қозғалысын және жүйенің жалпы жағдайда қозғалысын зерттеу үшін қолданылады, өйткені жалпы жағдайдағы қозғалыс ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстардан тұрады. Егер полюс ретінде массалар центрі алынса, онда қозғалыстың ілгерілемелі бөлігін массалар центрі қозғалысы туралы теоремасын, ал айналмалы бөлігін моменттер теоремасы қолдануымен зерттеуге болады. Сонда алдын ала белгісіз ішкі күштер қарастырылмайды.

Денемен бірге ілгерілемелі қозғалатын координаттар жүйесі үшін оның центріне қатысты моменттер теоремасы орын алады. Сонда теореманың түрі қозғалмайтын центрге қатысты теоремасымен бірдей болады. Сондай жүйенің өстеріне де қатысты моменттері үшін осыған ұқсас теңдеулер шығады.

Теореманың салдары (ЖҚМБМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМБМ-н өзгертпейді. Сонда жүйе өзгермейтін жүйе болса, ол тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады, ал өзгеретін болса, онда ішкі (немесе сыртқы) күштер әсерінен жүйе нүктелерінің өстен қашықтығы өзгеруі мүмкін, ал одан жүйенің бұрыштық жылдамдығының өзгерісі болады.

6.5 Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Жүйенің кинетикалық энергиясы (КЭ) деп келесі скаляр шаманы атайды

. (6.27)

КЭ жүйенің ілгерілемелі де, айналмалы да қозғалыстарын сипаттайды. Т шамасының мен шамаларынан айырмашылығы КЭ әрқашан оң скаляр шама болып келеді, ол жүйе бөліктері қозғалыстырының бағыттарына тәуелсіз және олардың өзгерісін сипаттамайды. Ішкі күштер жүйе бөліктеріне қарама-қарсы бағыттармен әсер етеді, сондықтан олар мен векторлық шамаларын өзгерпейді, бірақ егер ішкі күштер әсерінен жүйе нүктелерінің жылдамдықтарының модульдері өзгеретін болса, онда Т шамасы да өзгереді. Сонымен, T шамасының мен шамаларынан тағы бір айырмашылығы -оның өзгеруіне сыртқы күштер де, ішкі күштер де әсерін тигізеді. Дененің КЭ-сы қозғалыстың дербес жағдайларында төмендегідей анықталады:

а) ілгерілемелі қозғалыста

, (6.28)

б) айналмалы қозғалыста

, (6.29)

в) жазық параллель қозғалыста

. (6.30)

Дифферен­циалдық түрдегі жүйенің КЭ-сы өзгеруі туралы теорема

. (6.31)

Интегралдық түрдегі теорема: жүйенің КЭ-сы кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі жүйеге түсірілген барлық сыртқы және ішкі күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының қосындысына тең

. (6.32)

6.6 Жүйе үшін Даламбер принципі

МЖ-нің нүктелеріне түсетін инерция күштерін бас векторы мен бас моментіне келтіруге болады (O нүктесі – қозғалмайтын келтіру центрі). МЖ үшін Даламбер принципі: қозғалыстағы жүйені оған әсер ететін күштерге мен қосып, тыныштықтағы жүйе ретінде қарастыруға болады. Жүйенің кез келген қозғалысында векторы теріс таңбамен алынған жүйе массасының массалар центрінің үдеуіне көбейтіндісіне тең екенін дәлелдеуге болады, яғни . Егер АҚД оның Oxy материялық симметриялығы жазықтығында жазық параллель қозғалысын жасайтын болса, онда оның инерция күштерін С қозғалатын массалар центріне келтіруге болады. Сонда Cz өсі – дененің бас инерция өсі болады. Сол өске қатысты инерция моментін арқылы және бұрыштық үдеуін ε арқылы белгілеп, болатынын дәлелдеуге болады.

 

7 дәріс. Материалдар кедергісіне кіріспе. Материалдар кедергісінің есептері мен әдістері

Дәрістің мазмұны: материалдар кедергісінің есептері, есептеу сұлбасы, болжамдар; ішкі күштер факторлары, қималар әдісі; кернеулер, орын ауыстырулар, деформациялар мен есептеу әдістері жөнінде түсініктеме.

Дәрістің мақсаты: материалдар кедергісінің әдістерімен шешілетін есептер жиынын анықтау, негізгі үғымдарды игеру.

7.1 Материалдар кедергісінің мәселелері. Есептеу сұлбасы

Әртүрлі құрылыстар, машиналар, жабдықтар, аппараттар мен приборлардың басқа сапаларымен қатар беріктігі және қатаңдығы болу керек. Беріктік деп қатты денелердің күштер әсерін қирамай қабылдау қабілетін атайды. Қатаңдық деп қатты денелердің күштер әсерін өз өлшемдері мен формасын айтарлықтай өзгертпей, яғни үлкен деформацияларға ие болмай қабылдау қабілетін атайды. Конструкция элементтерінің (бөлшектерінің) беріктігі мен қатаңдығын қамсыздандыру үшін олар лайықты материалдан жасалу керек және оның керекті өлшемдері болу керек. Материалдар кедергісі (МК) – конструкция элементтерінің беріктігі мен қатаңдығы туралы ғылым. МК-нің негізгі қорытындылары статиканың заңдары мен теоремаларына тіреледі, бірақ МК-сінде денелердің деформациялану қасиетінің үлесі ең маңызды болады. МК мақсаты – конструкцияның типтік элементтерін есептеуінің қарапайым әдістерін беру. МК-нде жарамды болжамдарға негізделген жуық әдістер қолданылады.

Есептер шешуі есептеу моделін, яғни есептеу сұлбасын (ЕС) тандауынан басталады, ЕС – бұл объектінің айтарлықтай емес факторларынан босатылған сипаттамасы. Бір объект үшін талап қойылған нақтылыққа және құбылыстың қарастырылатын жағына тәуелді бірнеше ЕС-ны қолдануға болады. Екінші жақтан, бір ЕС-ға бірнеше объектілер келтірілуі мүмкін.

ЕС-ны тандау материалдар қасиеттерін модельдеуден басталады. Барлық материалдар олардың микроструктурасына тәуелсіз біртекті тұтас орта ретінде қарастырылады, бұл шексіз аз шамалар талдауының аппаратын қолдануға мүмкіншілік береді. Тұтас ортаны шынайы материалдың қасиеттеріне ие болғызады. Мысалы, барлық қатты денелердің анықталған дәрежедегі серпімділік қасиеті бар, яғни денелердің өлшемдері мен формасын өзгерткен сыртқы күштерді алып тастаса, олардың бастапқы өлшемдері мен формасына қайта келу қабілеті бар. Көптеген есептерде орта абсолют серпімді болып алынады. Егер абсолют серпімділіктен ауытқуы айтарлықтай көп болса, ортаны басқа қасиеттерге ие болғызады. Әдетте МК-нде орта изотропты болып қарастырылады.

Объектінің геометриясы да қарапайымдалады, МК-нде ол сырық немесе қабық сұлбасына келтіріледі. Сырық деп бір өлшемі (ұзындығы) басқа екі өлшемінен әлдеқайда үлкен денені атайды. Қабық деп бір өлшемі (қалындығы) басқа екі өлшемінен әлдеқайда кіші денені атайды. Сырықты геометриялық түрде жазық фигураны (7.1 сурет) кейбір қисықтың, яғни сырық өсінің бойымен орын ауыстырып жасауға болады. Ауырлық центрі сырық өсінде жатқан және оған тік орналасқан жазық фигура сырықтың көлденең қимасы деп аталады. Сырық түзу сызықты немесе қисық сызықты, оның қимасы өс бойымен тұрақты немесе айнымалы болулары мүмкін. Төменде тек қана сырықтар мен сырық жүйелерінің есептелуі қарастырылады.

Күштер жүйесі де қарапайымдалады. Мысалы, қадалған күш ұғымы енгізіледі. МК-нде күштер сыртқы және ішкі болып ажыратылады. Егер конструкция басқа денелерден тыс қарастырылатын болса, соңғылардың конструкцияға әсері сыртқы күштерге жататын күштермен ауыстырылады. Бұл күштер келесі күштерге бөлінеді: көлемдік (ауырлық, инерция, магниттік тарту күштері және т.б.) және беттік (айналасындағы денелермен түйісіп әрекеттесу күштері). Сыртқы күштер арасына тек берілген (актив) күштер ғана емес, оларға қосылып, теңгерілетін күштер жүйесін құрайтын байланыстардың реакциялары да кіреді. Теңгерілетін (актив және реактив күштерден тұратын) күштер жүйесін жүктеме деп атайды. Сыртқы күштердің шамасы және олардың таралу түрі объект пен айналасындағы денелердің шекарасы қайда өтетіне тәуелді. Күштер келесіге айрылады: статикалық (уақыт өтуімен өте жай өзгеретін, айтарлықтай инерция күштерін болдырмайтын күштер), динамикалық (уақыт өтуімен жылдам өзгеретін, есептеуде ескерілетін инерция күштеріне себепші болатын күштер; олар соққы, аяқ астынан түсірілетін және вибрациялық күштер болуы мүмкін), қайталымды-айналымды (әсері периодпен көп қайталанатын күштер). Объект бөліктерінің өзара әрекеттесуін сипаттайтын күштер ішкі күштерге жатады. Ішкі күштер тек қана объект бөліктерінің арасында емес, оның барлық көрші бөлшектерінің арасында да объектінің жүктелуі кезінде пайда болады. Әдетте объект сыртқы күштермен жүктелмесе, оның ішінде ішкі күштер жоқ деп есептеледі.

7.2 Қималар әдісі. Сырықтың көлденең қималарындағы ішкі күштер факторлары

Сырыққа (7.2,а сурет) {F₁, F₂, …, F_n} жүктемесі түсетін болсын. Сырық-та пайда болатын ішкі күштерді, оны екі бөлікке, мысалы А қимасымен кесіп, анықтауға болады (қималар әдісі). Сырықтың бөліктері арасындағы байланыстарды алып тастағандықтан, оның бір бөлігінің екінші бөлігіне әсерін қимадағы {F_А} ішкі күштер жүйесімен ауыстыру керек (7.2,б су-рет). Жалпы жағдайда әртүрлі қима-ларда әр түрлі ішкі күштер орын алады. А' жазықтығындағы күштер жүйесінің таңбасы А" жазықты-ғындағы күштер жүйесінің таңбасы-на қарсы болады. Ішкі күштер қима бойымен кейбір күрделі түрде тарала-ды. Сонда оң жақ және сол жақ бөліктері үшін тепе-теңдік шарттары бөлек орындалу керек. А қимасындағы ішкі күштердің бас векторы мен бас моментін кез келген бөліктің тепе-теңдік шарттарынан анықтауға болады.

Тепе-теңдік теңдеулерінен ішкі күштердің қима бойымен таралу заңын емес, тек қана олардың стати-калық эквиваленттерін анықтауға бо-лады (сыртқы күштер белгілі жағдайда). Ішкі күштер жүйесін қима-ның ауырлық центріне келтірейік. Нә-тижесінде бас векторы мен бас моментін аламыз (7.3 сурет). z өсін қиманың сыртқы нормалімен бағыттап және х пен у өстерін қима жазық-тығында орналастырып, координат жүйесін қабылдаймыз. және вектор-ларын өстерге проекциялап, 6 құраушыны аламыз: үш күш пен үш момент, олар сырық қимасындағы ішкі күштер факторлары (ІКФ) деп аталады. N құраушысы бойлық немесе нормаль күш, Q_x пен Q_y – көлденең күштер, М_к моменті – бұраушы момент, ал М_х пен М_у моменттері – х пен у өстеріне қатысты июші моменттер деп аталады. Сыртқы күштер белгілі болғанда, барлық ІКФ кесілген бөлік үшін құрылған 6 тепе-теңдік теңдеулерінен табылады.

ІКФ-на сәйкес сырықтың жүктелуі түрлерге жіктеледі (созылу, сығылу, бұралу, иілу және т.б.). Жүктелудің түрін анықтау үшін қима әдісін қолданып, қималарда қандай ІКФ болатынын анықтау керек. Нәтижелер эпюрлер деп аталатын графиктермен көрсетіледі.

7.3 Кернеулер, орын ауыстырулар және деформациялар туралы түсініктер

Ішкі күштердің қимада таралуын сипаттау үшін кернеу ұғымы енгізіледі. S қимасының К нүктесіндегі толық кернеу векторы деп, келесі шама аталады

(7.1)

мұндағы - K нүктесі аймағындағы элементар аудан;

- элементар ауданға түсетін ішкі күштердің тең әсерлі күші.

Сонымен, кернеу ауданның бірлігіне түсетін ішкі күш болып табылады (паскальмен өлшенеді). р кернеуін 3 құраушыға жіктеуге болады: қиманың нормалі бойымен (тік s кернеуі) және қима жазықтығындағы екі өс бойымен (жанама t кернеулері). Егер К нүктесі арқылы басқа қию ауданды жүргізсе, жалпы жағдайда кернеудің шамасы басқа болады. Нүктеден жүргізілген барлық аудандардағы кернеулердің жиынтығы нүктенің кернеулі күйін құрайды (ол 6 шамамен толық анықталады).

Сыртқы күштер әсерінен барлық денелер өздерінің өлшемдері мен формасын өзгертеді (де­формацияланады). Осы өзгерістер әдетте аз болса да ішкі күштердің дене бойымен таралуына айтарлықтай әсерін тигізеді. Деформациялану кезінде дене нүктелері кеңістікте өзінің орнын ауыстырады. Деформацияланбаған дене нүктесінен басталып, деформацияланған дененің дәл сол нүктесіне жүргізілген вектор нүктенің сызықты орын ауыстыру векторы деп аталады. Бұрыштық орын ауыстыру ұғымы келесідей енгізіледі: деформацияға дейін екі жақын нүктелердің арасындағы түзу кесінді де-формация болғаннан кейін кеңістікте кейбір бұрышқа бұрылады, ол да вектормен сипатталады.

Егер жүйеге, оның кеңістікте қатаң бүтін ретінде орын ауыстыруына ешқандай мүмкіншілік бермеуге жеткілікті байланыстар енгізілген болса, онда жүйе кинематикалық өзгермейтін жүйе деп аталады. МК-нде әдетте тек сондай жүйелер қарастырылады. Керісінше жағдайда орын ауыстырулардың тек қана деформациялар себебінен бола-тын бөлігі қарастырылады. Сонда көптеген жүйелер үшін кез келген нүктенің орын ауыстыруы дене өлшемдерімен салыстырғанда өте аз шама болады. Сондықтан, статика теңдеулерін құрған кезде бастапқы өлшемдер принципі бойынша өлшемдердің өзгеруі есепке алынбайды (бұдан өзгешеліктер бар).

Дене өлшемдері мен формасының өзгеру қарқындылығын сипаттау үшін денені деформацияға дейін және деформация болғаннан кейін қарастырайық (7.4 сурет). Келесі шама

(7.2)

А нүктесінің АВ бағыты бойымен сызықтық деформациясы немесе деформациясы деп аталады (оның реті 10^-3). Дәл сол нүктедегі басқа бағыты бойымен алынған деформация, жалпы айтқанда, басқа болады. х, у және z өстері бойымен деформацияларды e_х, e_у және e_z деп белгілейді.

Дене ішінде OD және ОС кесінділерімен жасалған тік бұрышты қарастырайық (7.4 сурет). Дене сыртқы күштермен жүктелген сон, бұл бұрыш өзгеріп, C'O'D' мәніне ие болады. Келесі шама

(7.3)

О нүктесіндегі COD жазықтығындағы бұрыштық деформация немесе ығысу бұрышы деп аталады. Координаттық жазықтықтарда ығысу бұрыштар g_уz, g_zx және g_ху арқылы белгіленеді.

7.4 Гук заңы. Күштер әсерінің тәуелсіздігі мен Сен-Венан принциптері

Көптеген жағдайда орын ауыстырулар кейбір шектерде әсер ететін күштерге пропорционал (Гук, 1660 ж.). Мұнда пропорционалдық коэффициенті материалдың физикалық қасиеттеріне және жүйенің геометриясына тәуелді. Қазіргі қарастыру бойынша Гук заңы кернеу мен деформация арасындағы сызықтық тәуелдігін анықтайды. Сонда пропорционалдық коэффициенттер материалдың тұрақтылары болып келеді. Ал орын ауыстырулар мен күштер арасындағы сызықтық тәуелдік соның салдары ретінде шығады. Тәуелдік күштер артқанда да, азайғанда да сақталады, демек, ол жүйенің серпімділік қасиеттерін сипаттайды.

Гук заңына бағынатын жүйелер үшін суперпозиция принципі (күштер әсерінің тәуелсіздігі принципі) орын алатынын дәлелдеуге болады, осыған сәйкес серпімді денедегі орын ауыстырулар мен ішкі күштер сыртқы күштердің түсу кезегіне тәуелсіз болады. Егер жүйеге бірнеше күш түсірілсе, алдымен әр күш бөлек түскен кезде орын алатын ішкі күштер, кернеулер, орын ауыстырулар мен деформацияларды анықтап, содан кейін барлық күштер әсерінің нәтижесін әр күш әсері нәтижелерінің қосындысы ретінде табуға болады.

МК есептерін шешу кезінде Сен-Венан принципі қолданылады. Егер денеге теңгерілетін күштер жүйесі әсер ететін болса, онда жүктеме түсірілетін орнынан алыстаған сайын кернеулер мен деформациялар шапшаң азаяды деп алынады. Бұл принципке сәйкес жүктеменің түсірілу тәсілі дененің деформациясына тек қана жүктеме түсірілген орнына жақын кіші көлемінде әсерін тигізеді, ал жүктеме түсірілген орнынан алыс жерде жүктеменің түсірілу тәсілі дененің деформациясына әсерін тигізбейді.

7.5 Конструкция элементтерін есептеудің жалпы принциптері

Конструкция оның беріктігіне, қатаңдығына, сенімділігіне қойылған талаптарды қанағаттандыра ма деген сұраққа жауап беру үшін алдымен есептеу әдісін таңдап алу керек. Беріктікке есептеудің ең кеңінен таралғал әдісі кернеулер бойынша есептеу болып табылады: мұнда конструкция сенімділігінің критерийі ретінде кернеу (кернеулі күй) болады деп есептеледі. Сонда конструкция талдауының негізінде ең жоғары (есептеу) кернеулер анықталады. Сол кернеулер берілген материал үшін,алдын ала зертханалық сынау негізінде табылған шекті мәнімен салыстырылады. Салыстыру нәтижесінде конструк-цияның беріктігі жөнінде қорытынды жасалынады.

Егер конструкция өлшемдерінің және формасының өзгеруі аз болу керек болса, қауіпсіз орын ауыстырулар бойынша есептеу жүргізіледі (қатаңдыққа есептеу). Бір жолы жүйені кернеулер бойынша беріктікке тексеру керек. Сапалық түрде айырылатын құбылыстармен, яғни орнықтылықпен, қайталмалы жүктемелердің әсерімен, динамикалық әсермен және т.б. байланысқан өзгеше әдістер қолданылады. Конструкцияның нақты жағдайларындағы сенімділігі-нің дәрежесі туралы мәселесі, машина бөлшектері курсында, турбома-шиналар динамикасы жіне беріктігі, химикалық өндірістегі аппараттар мен процестер және т.б. пәндерде қарастырылады.

8 дәріс. Сырықтардың созылуы мен сығылуы

Дәрістің мазмұны: бойлық күш, кернеулер мен деформациялар, орын ауыстырулар, деформацияның потенциалдық энергиясы, созылу (сығылу) кезіндегі кернеулі және деформациялық күйлер, созылу және сығылу диаг-раммалары, созылу-сығылу кезіндегі беріктік шарты.

Дәрістің мақсаты: созылған (сығылған) сырықтардың механикасын игеру, материалдарды созылуға және сығылуға сынауларын жүргізу әдістемесімен танысу, материалдардың негізгі механикалық сипаттамаларын игеру, созылу-сығылу кезіндегі беріктікке есептеудің әдістемесін игеру.

8.1 Бойлық күш және тік кернеулер

Созылу деп, сырықтың көлденең қималарында тек қана N бойлық күші орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрін атайды. Созылу кезінде N күшінің бағыты қарастырылатын қиманың сыртқы нормалімен бірдей болады. Сығылу созылудан формалды түрде тек қана N күшінің бағытымен айырылғанмен, онда айтарлықтай айырмашылықтар бо-луы мүмкін (ұзын сырықтар сығылған кезде олар иілуі мүмкін, созылу және сығылу кезіндегі қирау міңезі әртүрлі болады). Әдетте созылу немесе сығылу сырық өсі бойымен бағытталған сыртқы күштер әсерінен пайда болады. N эпюрі қима әдісі қолдануымен тұрғызылады, сонда N күші қарастырылатын қиманың бір жағындағы сырық бөлігіне түсетін сыртқы күштердің бойлық өсіне проекцияларының қосындысына тең

N = ∑F_iz. (8.1)

Созатын N күші - оң, сығатын - теріс болып алынады. Сондықтан (8.1) формуласында сыртқы күш қимадан тыс бағытталса, оның проекциясы «+» таңбасымен, қимаға қарай бағытталса – «-» таңбасымен алынады. 8.1 сурет-те N эпюрінің тұрғызу мысалы көрсетілген.

N күші көлденең қимадағы ішкі тік күштердің тең әсерлісі болып келеді, ол қимадағы тік кернеулерімен келесі тәуелдікпен байланысады

(8.2)

мұндағы σ – қиманың кез келген нүктесінің dA элементар ауданындағы тік кернеуі;

A – көлденең қиманың ауданы.

Қиманың әр нүктесіндегі σ кернеуін табу үшін оның қима бойымен таралу заңын білу керек. Көлденең қимасы тұрақты, біртекті материалдан жасалған және шеттерінде түсірілген созу F күштерімен жүктелген сырықты қарастырайық (8.2 сурет). Жүктелу алдында оның бетінде өске перпен-дикуляр түзу сызықтарды жүргізейік. Тәжірибе көрсеткендей, жүктелу кезінде сол сызықтар түзу және өске перпендикуляр болып қала береді. Бұдан сырықтың жүктелу алдындағы жазық көлденең қималары жүктелу кезінде жазық болып қала береді деп есептеуге болады (жазық қималар гипотезасы). Бірдей ұзаруларға сәйкес бірдей кернеулер болғандықтан, көлденең қимасының барлық нүктелерінде кернеулер бірдей болады, сонда

бұдан (8.3)

Тік кернеу созылу кезінде оң, ал сығылу кезінде теріс болып есептеледі. Қарастырылатын мысалда біртекті кернеулі күй орын алады, яғни сырықтың барлық нүктелеріндегі кернеулі күй бірдей. Егер сырықтың қимасы айнымалы болса (8.3 сурет), онда ол дәл солай жүктелген кезде нүктелердегі кернеулі күйлер әр түрлі болады.

8.2 Сырықтың ұзаруы және Гук заңы

Созылған сырықтың өлшемдері түсірілген күштерге тәуелді өзгереді. Мысалы, 8.2 суретте көрсетілген сырық сырықтың абсолют (толық) ұзаруы деп ата-латын ∆l шамасына ұзарады. Мұнда біртекті кернеулі күй болғандықтан, сызықты деформация (яғни салыстырмалы ұзаруы) барлық нүктелерде бірдей және келесіге тең

. (8.4)

Біртекті емес кернеулі күй жағдайында (8.3 сурет)

. (8.5)

Аз ε шектерінде көптеген материалдар үшін Гук заңы орындалады (σ мен ε арасындағы сызықты тәуелдік)

σ=Е∙ε (8.6)

мұндағы E –Юнг модулі (I ретті серпімділік модулі).

Юнг модулі тәжірибе арқылы анықталады; кейбір материалдар үшін E мәндері 8.1 кестеде келтірілген.

8.1 К е с т е

Материал	болат	мыс	латунь	алюминий және алю-миний-магний қорыт-палары	ағаш (талшық бойымен)
Е∙105, МПа	1,9-2,0	1,2	1,0-1,2	0,7-0,8	0,08-0,12

(8.5) формуласын (8.3) және (8.4) ескеруімен интегралдаудан кейін келесіге келеміз

.(8.7)

Көлденең қимасы тұрақты және шеттерінде F күштерімен жүктелген сырық үшін N=F=const боладыжәне абсолют ұзаруы келесіге тең

.(8.8)

Мұнда E∙А – сырықтың созылу-сығылу кезіндегі қатаңдығы.

Егер серпімді деформациялармен қатар температуралық деформация-ларды есепке алу керек болса, онда қосынды деформация осылай анықталады

(8.9)

мұндағы α – материалдың температуралық ұлғаю коэффициенті;

∆t – температураның өсімі.

Сырықтың жәй (статикалық) жүктелу кезінде сыртқы күштердің жұмысы толығымен деформацияның U потенциялық энергиясына айналады, ол Гук заңы орындалғанда келесі түрде жазылады

_. (8.10)

К&#