ЗАДАЧА № 3
Провести полное исследование функции 
и построить график.
1.Область определения: (х - с)2 - 3 ¹ 0; (х - с)2 ¹ 3; х - с ¹ ± Ö3.
Следовательно, 
.
2. Точки пересечения с осями:
а) ось ОУ: 
б) ось ОХ: y = 0 
.
Поскольку решение кубического уравнения с параметрами выходит за пределы курса, то находить точки пересечения с осью ОХ не будем.
3.Четность, нечетность функции:
Рассмотрим 
и убедимся, что 
, функция не является нечетной, и 
- функция не является четной.
4. Функция не является периодической.
5. Монотонность, экстремальные точки:
Находим производную: 
.
Приравниваем производную к нулю: 
.
Отсюда находим три решения: х1 = с - 3, х2 = с, х3 = с + 3.
Составляем таблицу:
| х | f¢(x) | f(x) | |
| ( -¥, c - 3 ) | + | ì | |
| c - 3 | 0 | 
| Точка максимума |
| ( c - 3, c - √3 ) | - | î | |
| c - √3 | Не определена | Не определена | |
| ( c - √3, c ) | - | î | |
| c | 0 | в | |
| ( c, c + √3 ) | - | î | |
| c + √3 | Не определена | Не определена | |
| ( c + √3, c + 3 ) | - | î | |
| c + 3 | 0 | 
| Точка минимума |
| ( c + 3, +¥ ) | + | ì |
6. Точки перегиба. Выпуклость, вогнутость функции.
Находим вторую производную: 
.
Приравниваем ее к нулю: 6а(х - с)((х - с)2 + 9)=0; ((х - с)2 - 3 )3 ¹ 0.
Получаем единственное решение х = с и составляем таблицу:
| х | f¢(x) | f(x) | |
| ( -¥, c - √ 3 ) | - | 
| |
| c - √3 | Не определена | Не определена | |
| ( c - √3, c ) | + | 
| |
| c | 0 | в | Точка перегиба |
| ( c, c + √3 ) | - |
| |
| c + √3 | Не определена | Не определена | |
| (c + √3,+¥) | + |
|
7. Асимптоты.
Вертикальные.
Поскольку знаменатель обращается в нуль при х = c - √3 и х = c + √3, а числитель нет, то вертикальные прямые х = c - √3 и х = c + √3 - вертикальные асимптоты.
Наклонные.
Отсюда, прямая у = ах + (в - ас) - наклонная асимптота.