Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Сравнение бесконечно малых

Определения[править | править вики-текст]

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

· Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.

· Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.

· Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается какα≍β или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения[править | править вики-текст]

· При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .

· то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи и

· При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.