Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.
Логика высказываний исходит из следующих двух допущений:
1) всякое высказывание является либо истинным либо ложным (принцип двузначности);
2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.
На основе этих допущений ранее были даны строгие определения логических связок «и», «или», «если, то» и др. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями связок. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением.
Согласно принятым определениям:
- конъюнкция истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны;
- дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно;
- строгая дизъюнкция истинна, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно;
- импликация истинна в трех случаях: ее основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;
- эквивалентность истинна, когда два приравниваемых в ней высказывания оба истинны или оба ложны;
- отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.
С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно.
Логика высказываний - это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:
1) неограниченное множество переменных: А, В, С, ... , А', В', О`, ..., представляющих высказывания;
2) особые символы для логических связок: & - «и», v - «или», v - «либо, либо», ® - «если, то»,« - «если и только если», ~ - «неверно, что»;
3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Чтобы использовать меньшее количество скобок, условимся, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.
Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание «Сейчас день», В - высказывание «Сейчас светло» и С- высказывание «Сейчас холодно», то формула:
А ® В v С, или со всеми скобками: (А ® (В v С)) ,
представляет высказывание «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно». Формула:
В & С ® А , или ((В & С) ® А),
представляет высказывание «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день». Формула:
~ В ® ~ А, или ((- В) ® (~ А)),
представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.
Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.
Таковы, в частности, формулы:
(А®), (& В), (A v ВС), (~& ) и т.п.
Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, формула (~ В® ~ А) даст ложное высказывание, только если вместо В подставить ложное высказывание, а вместо А - истинное.
Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, - это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.
Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в нее переменные.
Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.
Покажем для примера что формула:
(А ®В) ®(~ В ® ~ А)
является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, первое из них истинно, а второе ложно, и первое ложно, а второе истинно.
В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной.
| А | В | А® В | ~ В | ~ А | ~ В® ~А | (А® В)®(~ В ® - А) |
| и | И | и | Л | л | и | И |
| и | Л | л | И | л | и | И |
| л | И | и | Л | и | л | И |
| л | Л | и | И | и | л | и |
Нетрудно убедиться, например, что формула:
(А & ® А)
является всегда ложной, т.е. противоречием.
Множество тавтологий бесконечно.
Центральным понятием логики в целом и логики высказываний как ее части являются понятия логического закона и логического следования. Они могут быть определены через понятие тавтологии.
Логический закон логики высказываний - это тавтология данной логики. Иными словами, множество законов логики высказываний и множество ее тавтологий совпадают: каждый закон есть тавтология, и каждая тавтология есть закон. Это означает, что для установления того, является ли некоторая формула законом логики высказываний, достаточно с помощью таблиц истинности убедиться, является ли эта формула тавтологией. Логическим законом является, в частности, только что рассмотренная всегда истинна формула:
(А ® В) ( ~ В ® ~А).