Обработка результатов ЛР спецпрактикума
Преобразовать классические ЛР второго уровня в ЛР спецпрактикума довольно просто, усложнив их задания, то есть включить 3-е задание по компьютерной аппроксимации графика математической зависимостью. Для этого учащиеся должны освоить метод спрямления в соответствующих координатах (т.е. найти координаты, в которых исследуемая зависимость превращается линейную и произвести построение).
ЛР спецпрактикума – ЛР третьего уровня сложности. Это наиболее сложные работы, в которых содержится задание не только построить какую-либо зависимость, но и выяснить математический вид этой зависимости. В таких работах надо аппроксимировать полученную экспериментальную кривую к математическому выражению методом спрямления.
Метод спрямления
Метод спрямления заключается в приведении исследуемой экспериментальной зависимости к линейному виду:
у = k х или b + k х (1)
Этот метод широко используется в науке для доказательства того, что экспериментальная зависимость, полученная исследователем, отвечает тому или иному закону. Его можно применять и не имея возможности аппроксимировать экспериментальные кривые с помощью компьютерных программ. Этот метод выводит ЛР на более высокий уровень. Его использование рекомендуется тем учителям, кто желает научить школьников глубоко постигать физические явления и вывести ряд ЛР на уровень маленького исследования.
Рассмотрим этот метод на примерах.
Применение метода спрямления к степенной функции
Пример 1. Известно, что вольтамперная характеристика (ВАХ) вакуумного диода на начальном участке является степенной функцией, именуемой законом трёх-вторых (закон Богуславского –Ленгмюра):
I = k U 3/2 , (2)
Обозначим U 3/2 через х, тогда зависимость (3) будет иметь вид:
I = k х , (3)
Уравнение (3) – это линейная зависимость вида рис.2
|
|
Если экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую, то есть эффект спрямления прослеживается, значит закон трёх-вторых справедлив.
Затем, применив пакет Excel для аппроксимации полученной зависимости линейной функцией, учащиеся убеждаются в том, с какой степенью достоверности выполняется «закон 3/2» на начальном участке вольтамперной характеристики диода. Степень соответствия определяет коэффициент регрессии.
При выполнении ЛР «Исследование гармонических колебаний математического маятника» по экспериментальным данным вычисляется величина периода колебаний в зависимости T от длины подвеса l:
T = 2p 
(3)
и строится график зависимости Т(l). Затем учащиеся строят спрямлённый график в координатах Т = f (l ½) или T2 = f (l) (рис.3).Спрямление свидетельствует о справедливости математической формулы (3).
|
для математического маятника.
Более того, из этого графика по углу его наклона можно определить экспериментальное значение ускорения свободного падения: y = 5,1764x -уравнение аппроксимирующей прямой. Тогда T2 = 5,1764 l. Следовательно g = (4p2l)/T2 или g = 4p2/5,1764 » 8,1 ,м/с. Среднее значение ускорения g = 8,033±2.079 . Табличное значение g = 9,8 входит в этот интервал. Значит, полученный результат можно считать верным с учетом случайных ошибок в измерениях. Коэффициент корреляции равен 0.99109.
Подобные стереотипные задания включаются в другие ЛР, входящих в спецпрактикум: «Изучение равноускоренного движения с помощью прибора Атвуда» (спрямление параболической зависимости перемещения от времени s (t ) в координатах s = f (t 2 ). «Исследование гармонических колебаний пружинного маятника» и др.
Применение метода спрямления к гиперболической зависимости
Рассмотрим применение метода спрямления к гиперболе, смещённой относительно оси ординат (рис.4)
Исследуем функцию вида:
W = В + А/ r β , (4)
где В – постоянная: при r, стремящемся к бесконечности, W= В.
1. Перенесём постоянную В в левую часть уравнения
W – В = А/ r β
2. Прологарифмируем зависимость (1):
Ln (W – В) = lnA - β ln r (5)
3. Обозначим Ln(W – В) = у; LnА = b = const; Ln r = х.
Представим функцию (8) в виде: У = b – β х (6)
Уравнение (5) – это линейная функция вида (6). Только по оси ординат откладывается Ln(W – В) . рис.4, б.
W ln (W-В)
|
А
 | |||||
 | |||||
| |||||
В
r ln r
Рис. 4 Гипербола (а) и «спрямленная» гиперболическая зависимость в двойном логарифмическом масштабе (б)
Применение метода спрямления к экспоненциальной зависимости
Пример 1. В качестве примера приведем механизм спрямления экспоненциальной зависимости сопротивления термистора от температуры лабораторной работы «Изучение температурной зависимости сопротивления полупроводников». Известно, что зависимость сопротивления полупроводников от температуры R (T ) определяется формулой ;
R = R 0 exp ( 
) , (7)
где k = 8,6*10-5, эВ/К.Экспериментальный график этой зависимости учащиеся выстраивают, исследуя эту характеристику для термистора (рис.5).
Рис. 5. Зависимость сопротивления полупроводника от температуры
Прологарифмируем выражение (7):
lnR = lnR0 + (8)
Представим функцию (8) в виде:
у = a + b /T, где b = E /2k (9)
Эту функцию можно привести к прямо пропорциональной, если обозначить 1/Т через х, тогда зависимость (3) превращается в известную линейную:
у = a + bх,
Перестроив график R (T ) в координатах ln R = f (1/T ), учащиеся получают прямую (рис. 5), что является доказательством того факта, что температурная зависимость R (T ) полупроводников подчиняется зависимости (8).
| |
Рис. 6..Спрямление функции (10) в координатах ln R = f (1/T ),
По графику учащиеся также определяют энергию E, требующуюся для образования электронно-дырочной пары: E = tga 2k.
tga =, 
тогда E = 
2k = 0,07 ( Эв ) (10)
Пример 2.
Рассмотрим эту процедуру на примере вольтамперной характеристики (ВАХ) вакуумного или полупроводникового диода, которая имеет вид (рис. 7 а):
I = Io [ exp (+eU kT) - 1] - прямое включение; (11)
I = Io [ exp (-eU kT) - 1] - обратное включение (12)
где e – заряд электрона, U – напряжение, k – постоянная Больцмана, T – температура.
А. Прямое включение.
Преобразуем (11) :
I / Io = exp (+eU /kT) – 1 или:
I / Io + 1 = exp (+eU/ kT) (13)
Прологарифмируем (13)
ln ( I / Io + 1) = eU/ kT).
Так как Т= сопst, e= сопst, k= сопst, то е/ kT= сопst , тогда
ln ( I / Io + 1) = сопst U (14)
На рис. представлены графики прямой ветки ВАХ полупроводникового диода: в обычных координатах I=f(U) (а) и в координатах ln ( I / Io + 1) I=f(U) (б) из отчёта по лабораторной работе « Исследование полупроводникового диода»
Тогда график зависимости (14) будет представлять из себя прямую линию т.е. график функции y~х.
Iln ( I / Io + 1)
U, В 
U, В
а) б)
Рис.7 . Вольт-амперная характеристика полупроводникового диода (прямое включение): (а) – в обычных координатах I = f (U);
б) - спрямлённая вольтамперная характеристика в координатах ln( I / Io + 1) = f (U )
По графику 7, б учащиеся убеждаются, что зависимость I (U) действительно является экспоненциальной.
Б. Обратное включение
Формула ВАХ обратного включения:
I = Io [ exp (-eU kT) - 1] - обратное включение (12)
Преобразовав (12) и произведя логарифмирование, получим выражение
Ln( I / Io + 1) = - сопst U ,
которое представляет собой линейную зависимость вида
y = - kx (рис.8).
|
+ ln(I / Io + 1)
- U
Подобные стереотипные задания могут содержаться и в других ЛР, например «Исследование поляризации света», в которой учащиеся проверяют закон Малюса I=I0 cos 2j , перестраивая зависимость интенсивности света I, выходящего из анализатора от косинуса угла j между осями поляризатора и анализатора, в координатах I = f (cos 2j ) .
Таким образом, компьютерная обработка в анализе экспериментальных данных позволяет учащимся более детально исследовать задачу ЛР, приучает их оформлять ЛР в виде маленького, но логически завершенного исследования, в котором присутствуют все компоненты исследовательской работы: от постановки задачи до анализа результатов с указанием степени их достоверности.
Исследовательский подход к выполнению лабораторных работ СФП улучшает качество усвоения теоретического материала, прививает учащимся навыки научной работы и элементы исследовательской культуры, способствует повышению мотиваций к изучению физики.