Примеры решения задач
Пример 1. Кинетическая энергия электрона в атоме порядка 10,0 эВ. Используя соотношения неопределенностей, определить: 1) минимальные линейные размеры атома; 2) естественную ширину Dl спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время t жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 1,00·10-8 с, а длину волны l излучения равной 600 нм.
Решение. 1. Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотношением
, (1)
где 
- неопределенность координаты электрона; 
- неопределенность его импульса.
2. Пусть атом имеет линейные размеры 
, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью 
. Соотношение (1) можно записать в этом случае в виде 
, откуда
. (2)
3. Физически разумная неопределенность импульса 
не должна превышать значения самого импульса p, т.е.
.
4. Импульс p связан с кинетической энергией T соотношением 
. Заменим значением 
(такая замена не увеличит ). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим 
. Подставив числовые значения, найдем:
м.
5. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину 
. Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем жизни атомов в этом состоянии соотношением:
.
6. Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня. Тогда
. (3)
7. Энергия фотона e связана с длиной волны l соотношением:
. (4)
8. Чтобы найти Dl, продифференцируем соотношение (4) по l и заменим бесконечно малые приращения соответствующих величин на конечные:
, 
. (5)
В этом выражении конечный интервал длин волн 
есть естественная ширина спектральной линии.
9. Выразив из формулы (5) и заменив согласно (3), получим
.
10. Произведем вычисления
м.
Ответ: 1) 
м;
2) 
м.
Пример 2. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Определить: 1) вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии ( 
), будет обнаружен в средней трети ящика; 2) в каких точках интервала ( 
) плотность вероятности 
нахождения частицы максимальна и минимальна?
Решение. 1. Вероятность W обнаружить частицу в интервале 
определяется интегралом
, (1)
где 
- нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, которая имеет вид:
.
2. Возбужденному состоянию ( ) отвечает собственная волновая функция:
. (2)
3. Подставив 
в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим:
. (3)
4. Согласно условию задачи 
и 
(рис. 65). Подставим эти пределы интегрирования в формулу (3) и произведем замену
.
Разобьем интеграл на два:
5. Заметив, что 
, а 
, получим
.
6. Плотность вероятности для рассматриваемого случая определяется выражением
.
7. Для удобства дальнейших преобразований введем обозначение: 
. Тогда 
. Проведем исследование этой функции на экстремумы. Возьмем первую производную y по x, приравняем полученное выражение к нулю. Решив полученное уравнение, найдем значения x, отвечающие экстремумам y:
;
; 
; 
, где 
8. Координаты экстремумов: 
; 
; 
.
9. Максимум или минимум имеет функция при найденных значениях 
, 
и 
, необходимо установить знак второй производной 
при значениях , и :
.
· 
; 
.
· 
; 
.
· 
; 
.
10. Следовательно, в точках 
и 
плотность вероятности будет максимальна, а в точке 
- минимальна (рис. 65).
Ответ: 1) ;
2) Координаты максимумов:
и .
Координата минимума .
Пример 3. Кусок металла (медь) объема 
находится при температуре 
. Определить: 1) максимальную энергию 
(энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле при , приняв, что на каждый атом меди приходится по одному электрону; 2) долю свободных электронов, энергии которых заключены в интервале от 
до ; 3) среднюю кинетическую энергию 
свободных электронов.
Решение. 1. Максимальная кинетическая энергия , которую могут иметь электроны в металле при абсолютном нуле, связана с концентрацией свободных электронов соотношением:
, (1)
где 
- постоянная Планка, деленная на 2p; m - масса электрона.
2. Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле:
,
где r - плотность меди; 
- число Авогадро; A - масса килоатома.
3. Подставляя выражение концентрации в формулу (1), получаем:
.
4. Подставив числовые значения, произведем вычисления:
Дж = 7,4эВ.
5. Число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале от 
до 
, найдем интегрированием:
6. После подстановки числовых значений получим:
эл/м3.
7. Для определения средней кинетической энергии 
свободных электронов воспользуемся известным соотношением
.
8. Подставив функциональную зависимость 
и выполнив преобразования, получим:
(2)
9. Учитывая, что 
, запишем
.
10. Объединив с выражением (2), получим:
.
11. Подставляя в последнюю формулу численное значение, найдем среднюю энергию
эВ.
Ответ: 1) 
1,18·10-18 Дж = 7,4 эВ;
2) 
4,4 эВ.
Пример 4. Рассчитать ширину запрещенной зоны 
носителей тока в теллуре, если при нагревании от 
К до 
К его проводимость возрастает в 5,00 раз.
Решение. 1.Теллур является полупроводником, его собственная проводимость s зависит от температуры T по закону
, (1)
где 
- величина, слабо меняющаяся с температурой; - ширина запрещенной зоны; k - постоянная Больцмана.
2. Используя соотношение (1), запишем проводимость теллура при температурах 
и 
:
; (2)
; (3)
3. Разделив выражение (3) на (2), имеем:
.
4. После логарифмирования 
, выразим ширину запрещенной зоны
.
5. Подставим числовые значения:
Дж = 0,333эВ.
Ответ: 
Дж = 0,333эВ.
Пример 5. Определить начальную активность 
радиоактивного магния 
массой 
, а также активность A по истечении времени 
ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.
Решение. 1. Начальная активность изотопа:
, (1)
где l - постоянная радиоактивного распада; 
- количество атомов изотопа в начальный момент ( 
).
2. Учтем, что 
, 
, тогда формула (1) примет вид
. (2)
3. Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:
мг = 0,2·10-9кг; 
моль-1;
кг/моль; 
мин = 600с.
4. Активность изотопа уменьшается со временем по закону:
. (3)
5. Заменив в формуле (3) постоянную распада l ее выражением, получим:
.
6. Так как 
, то окончательно будем иметь:
.
7. Сделав подстановку числовых значений, получим:
Бк.
Ответ: 
Бк.
Пример 6. Найти энергию реакции 
.
Решение. 1. Определим энергию реакции:
МэВ.
2. При числовом подсчете массы ядер заменим массами нейтральных атомов:
а.е.м.;
а.е.м.;
а.е.м.;
а.е.м.
3. Подставим значения масс в формулу и получим Q:
МэВ.
Ответ: 
МэВ.
Пример 7. Вычислить толщину слоя половинного ослабления 
параллельного пучка 
-излучения для воды, если линейный коэффициент ослабления 
= 0,047 см-1.
Решение. 1. При прохождении g-излучений через слой вещества происходит их поглощение за счет трех факторов: фотоэффекта, эффекта Комптона и образования пар (электрон-позитрон). В результате действия этих трех факторов интенсивность g-излучения экспоненциально убывает в зависимости от толщины слоя:
. (1)
2. Пройдя поглощающий слой толщиной, равной толщине слоя половинного ослабления 
, пучок g-излучения будет иметь интенсивность 
. Подставив значения 
и х в формулу (1), получим
. (2)
После сокращения на 
уравнение (2) примет вид
. (3)
3. Прологарифмируем выражение (3)
. (4)
4. Найдем искомое значение толщины слоя половинного ослабления
. (5)
5. Подставим в формулу (5) значения и 
, найдем величину :
см.
Вывод - слой воды толщиной в 15 см снижает интенсивность g-излучения в два раза.
Ответ: 
см.
Пример 8. Радиоактивный точечный источник 
находится в центре свинцового сферического контейнера с внешним радиусом R = 20,0см и с толщиной стенок х = 1,00см. Определить максимальную активность 
источника, который можно хранить в контейнере, при допустимой плотности потока, 
g-фотонов с внешней стороны контейнера равной 8,00·106 (с-1·м-2). Принять, что при каждом акте распада ядра испускается п = 2 g-фотона, средняя энергия которых 
= 1,25 МэВ.
Р е ш е н и е. 1. Активность радиоактивного источника пропорциональна потоку излучения g-фотонов
, (1)
где п - число g-фотонов, испускаемых при одном акте распада.
2. Найдем из уравнения (1) активность
. (2)
3. Выразим поток Ф, входящий в формулу (2), через плотность потока 
, который на расстоянии R от точечного источника излучений равен
. (3)
4. После прохождения излучения через свинцовую стенку контейнера плотность потока уменьшится и будет равна
. (4)
5. Найдем из (4) плотность потока и подставим в формулу (3), в результате получим равенство
, (5)
откуда получим выражение для потока
. (6)
6. Подставим выражение (6) для потока Ф в (2) и определим активность А препарата
. (7)
7. Если заменить в полученной формуле 
на , то формула (7) будет выражать искомую максимальную активность источника, который можно хранить в контейнере:
. (8)
8. По графику (см. приложение табл. 9) найдём линейный коэффициент ослабления для -фотонов с энергией 
= 1,25 МэВ, который равен 0,64 см-1.
9. Выразим величины, входящие в формулу (8), в единицах СИ, выполним вычисления и получим искомую активность
МБк.
Вывод: Данный контейнер предназначен для хранения g-радиоактивных источников с активностью не превышающей 3,81 МБк.
Ответ: 
МБк.
Пример 9. Космическое излучение на уровне моря на экваторе образует в воздухе объемом V = 1,0 см3 в среднем N = 24 пары ионов за время 
= 10 с. Определить экспозиционную дозу X, получаемую человеком за время 
= 1,0 год.
Р е ш е н и е. 1. Экспозиционную дозу, получаемую человеком, можно определить по формуле
, (1)
где 
- мощность экспозиционной дозы излучения.
2. Мощность дозы
, (2)
где 
- заряд ионов одного знака, образуемых излучением за время в воздухе массой т.
3. Найдем массу воздуха из его плотности 
и занимаемого объема 
:
. (3)
4. Заряд всех ионов одного знака найдем равен
. (4)
5. Подставим в формулу (1) выражения для мощности дозы (2), массы 
(3) и электрического заряда (4) и получим расчетную формулу
. (5)
6. Подставим величины, входящие в формулу (5), в единицах СИ и выполним вычисления
мкКл/кг.
Вывод: Экспозиционная доза, получаемая человеком за счет космического излучения в год равна 9,4 мкКл/кг.
Ответ: 
мкКл/кг.