Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Частной производной функции по переменной называется конечный предел , т. е. чтобы найти частную производную по , надо считать постоянной и руководствоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
Аналогично определяется и производная по : .
Пример 1. . Найти и .
Решение. Считаем постоянной, тогда . Если – постоянная, то .
Пример 2. . Найти и .
Решение. Если постоянная, то это степенная функция: ; при постоянной функция – показательная функция, тогда .
Частные производные второго порядка:
; ;
; .
Для большого класса функций смешанные производные равны, т.е.
.
Пример 3. Убедиться, что смешанные производные функции равны.
Решение. ; ,
; .
Таким образом, .
Пример 4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение. Находим ;
. Подставляем найденные выражения в левую часть уравнения
, что и требовалось.
Ряды.
4.1. Знакоположительные числовые ряды.
Пусть дана бесконечная числовая последовательность Выражение вида – называется числовым
рядом, где – общий член ряда.
Сумму первых членов ряда называют - ой частичной суммой и обозначают .
Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е. . Число называют суммой ряда. Если или не существует, ряд называют расходящимся.
Пример 1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Дан ряд , -ая частичная сумма .
При : – ряд сходится. Если , то или не существует, ряд расходится. Итак, ( ).
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то .
Таким образом, если , то ряд расходится.
Пример 2. Покажем, что ряд расходится.
Решение. – общий член ряда; , значит ряд расходится.
Перечислим основные достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
(1)
, (2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е. для всех . Тогда, если сходится ряд (2), сходится и ряд (1), если расходится (1), то расходится (2).
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Признак Даламбера. Если для ряда существует предел , то этот ряд сходится при и расходится при .
Пример 3. сходится, так как ; ,
.
Пример 4. расходится, так как ; ;
.
Признак Коши. Если для ряда существует , то при ряд сходится, при расходится.
Пример 5. сходится, так как ; ;
.
Признак Дирихле. Ряд сходится тогда и только тогда, когда .
Пример 6. Гармонический ряд расходится, так как .
Пример 7. Ряд сходится, так как .
Пример 8. Ряд расходится, так как его можно сравнивать по второму признаку с гармоническим рядом, который расходится.
~ (при ).
Пример 9. сходится, так как ~ , ряд сходится , значит по второму признаку сравнения сходится и данный ряд.
4.2. Знакочередующиеся ряды. Для знакочередующего ряда
справедлив признак сходимости Лейбница: знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е.
1) ;
2) .
Пример 10. сходится, так как
1) ; ; , …, т. е. ...;
2) .
Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим знакопеременный ряд
и ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:
Если сходится ряд , то сходится исходный ряд и называется абсолютно сходящимся.
Сходящийся ряд называют условно сходящимся, если ряд расходится.
Пример 11. сходится (по признаку Лейбница), а ряд
расходится , значит, данный ряд сходится условно.
Пример 12. сходится абсолютно, так как ряд сходится .
4.2. Степенные ряды. Ряд вида
называется степенным. Числа , , …, ,… – коэффициенты ряда (действительные числа), – центр ряда (также действительное число).
Теорема (об области сходимости степенного ряда). Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости с центром в точке : , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого расходится.
На концах интервала требуется дополнительное исследование.
Радиус сходимости можно находить по формуле: .
Пример 13. Найти область сходимости степенного ряда
.
Коэффициент n–го члена равен ; коэффициент (n+1)–го члена , следовательно .
Таким образом, ряд абсолютно сходится для всех значений x из интервала . Для значений и ряд расходится. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляем в заданный ряд . Получаем числовой ряд – этот ряд гармонический, он, как известно, расходится. При получаем ряд Этот знакопеременный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .