Введение в математический анализ.

Математика

2семестр

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

для студентов всех специальностей

заочной формы обучения

Тюмень 2007

Утверждено редакционно-издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: Осташков В.Н., к.ф.–м.н., доцент

Скалкина М.А., к.ф.–м.н., профессор

Рожнова В.А., старший преподаватель

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методические указания разработаны на кафедре высшей математики ТюмГНГУ на основании учебных планов и содержат вопросы теории и решения типовых примеров.

В методические указания включены следующие разделы высшей математики: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной и двух переменных, числовые и степенные ряды.

Напоминаем, что решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

Введение в математический анализ.

1.1. Функции и их графики.Следующие функции действительной переменной называются основными элементарными функциями:

1. Постоянная функция: , (рис. 1);

2. Степенная функция: , (рис. 2.a, 2.б, 2.в);

3. Показательная функция: , , (рис. 3.a, 3.б);

4. Логарифмическая функция: , , (рис. 4.a, 4.б);

5. Тригонометрические функции: , , , (рис 5.a, 5.б, 5.в, 5.г);

6. Обратные тригонометрические функции: , ,

, (рис. 6.a, 6.б, 6.в, 6.г).

Графики элементарных функций:

Функция, полученная в результате последовательного выполнения композиции функций и , называется сложной функцией:

Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций, примененных к ним, и конечного числа их композиций.

Например, функция , где , называется линейной и является элементарной, так как она получена с помощью сложения двух функций, одна из которых получается путем умножения постоянной функции на степенную функцию , вторая – постоянная функция .

Область определения функции обозначают .

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами ( ), причем аргумент пробегает всю область определения .

При построении графиков функции часто используют следующие простые геометрические рассуждения. Если Г - график функции , то:

1) график функции есть зеркальное отражение графика Г относительно оси ;

2) график функции - зеркальное отражение графика Г относительно оси ;

3) график функции - смещение графика Г вдоль оси на величину а;

4) график функции - смещение графика Г вдоль оси Oy на величину .

5) график функции , – сжатие графика Г в раз (при ) или растяжение в раз (при ) вдоль оси ;

6) график функции , , – растяжение графика Г в b раз (при ) или сжатие в раз (при ) вдоль оси .

Пример 1. Найти область определения для данных функций и построить их графики.

а) ; б) .

Решение. а) Функция определена, если или . Так как корни уравнения равны и , неравенство справедливо в отрезке .

Итак, : , значения функции . Составим таблицу значений функции и построим ее график

	-2	-1
	-2	0,2	0,8		0,8	0,2	-2

Нетрудно видеть, что ,

или – это окружность с центром в точке , радиусом . Так как графиком данной функции является верхняя половина этой окружности (см. рис.7.а).

б)Логарифмическая функция определена для положительных аргументов, т. е.

, значит

. График можно построить, преобразовывая график функции

, т.е. сместив его влево на 1 и сжав в 3 раза вдоль оси

(см. рис. 7.б).

1.2. Предел функции. При вычислении предела функции обычно руководствуются следующими соображениями:

1) для всякой элементарной функции справедливо равенство при любых ;

2) если и функция определена в некоторой окрестности точки , то вычисление предела (раскрытие неопределенностей вида ) – достаточно сложная задача. Рассмотрим типичные случаи.

1. Рациональные функции. Если рациональная функция имеет вид

,

где и - некоторые многочлены, причем , то возможны два случая:

а) , тогда ;

б) ; в этом случае непосредственная подстановка в дробь приводит к неопределенности, которую мы будем условно записывать так: . Для раскрытия неопределенности, как правило, приходится разлагать числитель и знаменатель на множители и сокращать на линейный множитель .

Примечание. Если , то принадлежит области определения функции , и поэтому ее предел в точке равен значению функции:

.

Пример 2. Вычислить: .

Решение. .

2. Иррациональные функции. Если неопределенное выражение содержит иррациональность, то, умножая на сопряженное выражение числитель и знаменатель, переводят иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот.

Пример 3. Вычислить: .

Решение.

.

3.Предел при . При вычислении предела при в рациональных или иррациональных выражениях может возникнуть неопределенность вида . Эту неопределенность раскрывают делением числителя и знаменателя на наивысшую степень , входящую в выражение.

Пример 4. Вычислить .

Решение. .

4. Первый замечательный предел, т.е. предел вида

используется при раскрытии неопределенностей вида в тригонометрических выражениях.

Пример 5. Вычислить .

Решение. .

Пример 6. Вычислить .

Решение.

.

5. Второй замечательный предел, т.е. предел вида

используют при вычислении пределов вида , где , (что дает неопределенность вида ).

Пример 7. Вычислить .

Решение.