Построение неявных схем

Для построения -шаговой неявной (интерполяционной) схемы будем использовать интерполяционный многочлен Ньютона, построенный по значениям функции в узлах :

,

где

,

,

............................................

Воспользуемся формулой

.

Подставляя в эту формулу интерполяционный многочлен, получим общий вид неявной схемы Адамса:

,

где коэффициенты имеют новый смысл:

, т.е. , и т.д.

В частности, полагая , получим двухшаговую неявную схему Адамса:

(19)

4.9.2. Двухшаговая схема: погрешность аппроксимации
и устойчивость на модельной задаче

Аналогично разделу 3.8.2., определим порядок аппроксимации неявной двухточечной семы Адамса (19). Погрешность аппроксимации запишется следующим образом:

,

где

,

- точное решение задачи Коши.

Тогда справедливы следующие разложения:

,

,

.

С учетом этих разложений формула для погрешности аппроксимации примет вид

Однако очевидно, что , поэтому для погрешности аппроксимации получаем соотношение , а значит, двухточечная неявная схема Адамса имеет порядок аппроксимации, равный трем.

Исследуем устойчивость схемы (19) на модельной задаче

, , .

Для этой задачи схема (19) примет конкретную форму трехточечного разностного однородного уравнения с постоянными коэффициентами:

.

Подставляя в это уравнение частное решение вида , получим квадратное уравнение для :

или

,

где . Поскольку , можно записать неравенство для корней квадратного уравнения:

.

В силу последнего неравенства, если выполнены условия , то

.

Это значит, что для устойчивости разностной схемы достаточно выполнения неравенства

,

что равносильно ограничению на шаг разностной схемы .