Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

 

Выведем уравнение динамики вращательного движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и (4.3) следует, что скорость изменения момента импульса i-й материальной точки определяется следующим образом:

(4.6)

Сложим почленно уравнения (4.6), записанные для каждой из материальных точек тела:

(4.7)

Векторная сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, называется результирующим, или главным, моментом внешних сил относительно точки О:

Векторная сумма моментов импульса всех материальных точек тела называется моментом импульса тела относительно точки О:

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил взаимодействия между точками тела равна нулю, т.е.

так как по третьему закону Ньютона силы и численно равны, имеют общую линию действия, но направлены в противоположные стороны (рис. 4.4). Поэтому их моменты и относительно точки О численно равны и противоположны по направлению (на рис. 4.4 точки m_i, m_k и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы и перпендикулярны этой плоскости). Действительно, , где - вектор, проведенный из точки m_i в точку m_k. Поэтому так как векторное произведение векторов и , направленных вдоль одной прямой, равно нулю.

На основании изложенного уравнение (4.7) можно записать в следующем виде:

(4.8)

Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

Полученный результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.