Прямая и плоскость

Прямой в пространстве , проходящей через точку с координатами , параллельно вектору , называется множество точек вида

где – любое число. Вектор называется направляющим вектором прямой.

В координатах равенство можно записать

или чисто символически

поскольку некоторые из координат вектора могут равняться нулю.

k-мерной плоскостью в пространстве , проходящей через точку , параллельно линейно независимой системе k векторов , называется множество точек

где – произвольные числа.

Одномерная плоскость – это прямая; n-мерная плоскость в пространстве совпадает с этим пространством.

Гиперплоскость – это (n-1)-мерная плоскость в пространстве , которая задается одним линейным уравнением

где – константы, причем не все числа равны нулю.

Вектором нормали гиперплоскости

называется вектор , такой, что для всех . То есть

Тогда для точек гиперплоскости в имеем уравнение

которое называется векторным общим уравнением гиперплоскости в .

Пусть – декартова прямоугольная система координат в , – некоторый вектор, то в координатах уравнение гиперплоскости можно записать в виде:

Следовательно, в декартовой системе координат коэффициенты общего уравнения прямой являются координатами вектора нормали гиперплоскости. Здесь . Если ввести в рассмотрение единичный вектор нормали

то величина численно равна расстоянию от начала координат до гиперплоскости. Тогда . Положительное (отрицательное) значение означает, что начало координат находится в нижнем (верхнем) полупространстве относительно данной гиперплоскости. Величина называется отклонением начала координат от гиперплоскости.

Пусть – радиус-вектор произвольной точки в . Отклонением точки от гиперплоскости является уравнение гиперплоскости:

Расстояние от точки до гиперплоскости определяется как абсолютное значение этой величины .

Зададим гиперплоскость в декартовых координатах

Тогда

Угол между двумя прямыми: определим из соотношения для скалярного произведения векторов:

Углом между прямой и гиперплоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Зададим прямую параметрически , а плоскость зададим общим уравнением . Тогда

Углом между гиперплоскостями называется угол между прямыми, перпендикулярными заданным плоскостям.

Зададим две гиперплоскости общими уравнениями: и . Тогда

Пусть и – две произвольные точки. Построим прямую, проходящую через две точки и .

или в координатах

В частности, при получим точку , а при получим точку . При получим замкнутый отрезок, а при получим открытый отрезок. При получим луч. Последние равенства можно переписать в виде:

или в координатах

Здесь при описании отрезка числа и пробегают всевозможные действительные положительные значения, связанные между собой равенством: .

В декартовых прямоугольных координатах уравнение плоскости в трехмерном пространстве приводиться к виду

и называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты являются координатами вектора , перпендикулярного к этой плоскости Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Существуют различные способы задания плоскости в трехмерном пространстве и соответствующие им виды уравнения.

1. Если плоскость проходит через точку и перпендикулярна к вектору , то ее уравнение записывается в виде:

2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат , , в точках , , соответственно, то ее уравнение можно записать в виде:

3. Если плоскость проходит через точки , где , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:

Угол между двумя плоскостями и вычисляется на основании формулы:

где , – нормальные векторы данных плоскостей. Отсюда условие перпендикулярности данных плоскостей можно представить в виде: . Условие параллельности рассматриваемых плоскостей: