Переменного сечения. Уравнение Гюгонио

Для приближенных расчетов газовых потоков по трубам во многих случаях можно довольствоваться следующей упрощенной одномерной стационарной схемой. Скорость потока в рассматриваемом сечении трубы направлена вдоль ее оси. Все параметры (V, p, , T), постоянные в пределах одного сечения, изменяются при переходе к другому сечению канала, причем закон изменения площади S вдоль оси считается заданным.

Применяя уравнение Эйлера в виде

(2.12)

и уравнение неразрывности

, (2.13)

установим дифференциальное соотношение между S и V.

Преобразуем (2.12) к виду

.

Продифференцируем уравнение (2.13) и полученный результат разделим на исходное уравнение. В результате получим

.

Подстановка полученного равенства в предыдущее уравнение позволяет получить уравнение Гюгонио:

,

или, после деления на а2

. (2.14)

Из уравнения Гюгонио следует:

1. Если М < 1 знак dV противоположен знаку dS, то есть при дозвуковом движении, так же как и в случае несжимаемой жидкости, с возрастанием площади скорость убывает.

2. При М > 1 знак dV одинаков со знаком dS, то есть при сверхзвуковом движении газа в расширяющейся трубе движение ускоряется. Этот парадоксальные на первый взгляд результат объясняется тем, что пpи расширении газа плотность настолько уменьшается, что произведение в (2.13), несмотря на увеличение S, уменьшается, что и приводит к росту скорости.

3. При М = 1 . Соответствующее сечение трубы будет критическим. Условие совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Критическое сечение будет минимальным (максимальным оно быть не может, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что не позволит получить звуковую скорость в нем).

4. Если и сечение экстремально (минимально или максимально), то либо М = 1 и это сечение критическое, либо М ¹ 1 и скорость не меняется. В последнем случае, каково бы ни было движение – дозвуковое или сверхзвуковое, скорость в экстремальном сечении принимает экстремальное значение. При дозвуковом течении значение скорости минимальное в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении. При сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальная, а в минимальном сечении – минимальная.

Истечение газа в камеру с заданным противодавлением происходит иначе, чем в конфузорном сопле, если сопло имеет как начальную суживающуюся (конфузорную), так и выходную расширяющуюся (диффузорную) части. В этом случае скорость газа, достигнув своего критического значения в минимальном сечении, при дальнейшем расширении газа в диффузорной части сопла может стать сверхзвуковой.

Пользуясь уравнением (2.13) и изэнтропическими формулами, найдем связь между параметрами одномерного потока и площадью сечения, заданной в виде функции от координаты x. Действительно, согласно (2.13) имеем (индекс «1» присвоим какому-нибудь фиксированному сечению трубы):

или

. (2.15)

Это соотношение в совокупности с изэнтропическими формулами

(2.16)

дает параметрическое решение задачи об одномерном газовом потоке в трубе переменного сечения, причем роль параметра играет число М.

Задаваясь функцией S(x), определим по (2.15) M(x), а затем по (2.16) – p(x), r(x), T(x) и V(x).

Формула (2.15) упрощается, если принять , тогда сечение с площадью будет критическим ( ), а (2.15) преобразуется к виду:

(2.17)

На рис. 2.1 приведен график этой зависимости для воздуха (k = 1,4).

График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозвуковом потоке (M < 1) для увеличения числа М сечение S следует уменьшить, а в сверхзвуковом потоке (M > 1), наоборот увеличивать. На рис. 2.1 видно, что для повышения числа М от 0,2 до 0,8 газ должен пройти через сужающийся участок трубы (конфузор), площадь сечения которого уменьшается в три раза. Чтобы увеличить число М от значения 1 в критическом сечении до 3,2 необходимо использовать расширяющуюся трубу (диффузор) с площадью на выходе, в пять раз превышающей площадь критического сечения.

Ошибка! Ошибка связи.

Рис. 2.1. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения

Используя уравнение (2.15) и полученные ранее формулы найдем решение рассматриваемой задачи с помощью критических параметров , , , , а не параметров , , , , относящихся к произвольному сечению.

Пользуясь ранее полученными равенствами можно написать соответствующие формулы, выраженные через параметр λ:

Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение газа через сопло Лаваля (рис. 2.2).
Ход изменения площади S показан на рис. 2.2.а, а изменение критерия Маха на рис. 2.2.б.; изменение отношения давлений р/р* на рис. 2.2.в. Кривые М(х); р/р* построены по ранее приведенным формулам.

Ошибка! Ошибка связи.

Рис. 2.2. Одномерное изэнтропическое течение газа через сопло Лаваля

Если в минимальном сечении число М = 1, то дальнейшее развитие потока может идти как по кривой М > 1, так и по кривой М < 1. Эта альтернатива разрешается заданием противодавления на выходе из сопла. По заданному соотношению на выходе из сопла Лаваля, найдем, пользуясь (2.17) или правой восходящей ветвью кривой на рис. 2.2, выходное значение и, подставив его в правую часть равенства

,

определим расчетное значение отношения давления на выходе к критическому давлению . Если противодавление в камере подобрать равным этому расчетному давлению , то сопло Лаваля будет работать на расчетном сверхзвуковом режиме, скорость на выходе будет превышать скорость звука и равна . При этом же значении , но пользуясь левой нисходящей ветвью кривой определим значение и соответствующее ему .

Дозвуковых режимов истечения из сопла Лаваля заданной формы существует бесчисленное множество, в то время как сверхзвуковое истечение единственно и может осуществляться только при одном значении противодавления, равном .

Если противодавление окажется лежащим между расчетными значениями и , то в сопле или вне его возникнут сложные явления, при наличии которых движение газа в сопле уже не будет непрерывным, одномерным и изэнтропическим. Если противодавление меньше , то газ на выходе из сопла будет продолжать непрерывно и изэнтропически расширяться, пока не достигнет давления в камере, но движение его вне сопла уже нельзя будет рассматривать как одномерное.

Массовый расход газа через сопло Лаваля, так же как и при движении через конфузорное сопло, не может быть больше критического. Но в отличие от конфузорного сопла, скорость на выходе из сопла Лаваля при сверхзвуковом режиме превосходит скорость звука и может быть путем подбора формы и длины сопла сделана тем больше, чем меньше противодавление и при ( и Т обращаются в нуль) скорость будет равна Vмакс.

Если скорость на входе сверхзвуковая, то, учитывая что в сужающейся трубе она достигает наименьшего значения в наиболее узком сечении, и если в этом наименьшем сечении ее значение остается больше скорости звука, то в расширяющейся части трубы скорость газа растет и на выходе будет так же, как и на входе, сверхзвуковой.

Когда сверхзвуковой поток достигает в наименьшем сечении скорости звука, то так же возможны два случая. Если давление на выходе меньше критического, то в диффузоре скорость будет расти и на выходе она станет сверхзвуковой. Если давление больше критического скорость в диффузоре убывает и на выходе она достигает дозвукового значения.

Такая труба используется для торможения газовых потоков, так как для сверхзвукового потока роль тормоза выполняет сужающаяся труба. Опыт показывает, что в последнем случае поток газа неустойчив и в нем возникает система косых и прямых скачков уплотнения, в которых и происходит торможение. При этом происходит потеря энергии.

Элементарный расчет сопла Лаваля заключается в определении его основных размеров по заданному расходу, параметрам торможения и значению скорости на срезе сопла.

Площадь горла можно найти из условия, что в нем устанавливается критический режим.

.

Выходное сечение сопла S1 можно определить из уравнения неразрывности

.

Выражая отношение плотностей по соответствующей формуле, получим

. (2.18)

Промежуточные значения площадей поперечных сечений сопла можно найти по (2.18), если задаться законом изменения по длине сопла или . Но если необходимо с помощью сопла Лаваля обеспечить только заданное значение средней скорости, а равномерность распределения скоростей в сечении несущественна, то иногда выполняют расширяющуюся часть конической с углом раствора, не превышающим 12о. Для получения равномерного поля скоростей на выходе из сопла его очертания должны быть рассчитаны методами теории двумерных течений.

Получение сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля является только одним из возможных способов ускорения газового потока. Имеются методы получения сверхзвуковых скоростей в цилиндрических каналах путем изменения расхода вдоль течения и путем подвода или отвода тепла.

Задача торможения газовых потоков встречается во многих случаях инженерной практики. Торможение дозвукового потока происходит в диффузоре (в расширяющемся канале). Основным вопросом проектирования дозвукового диффузора является определение величины потерь. Эти потери определяются вихревой структурой вязкого газа в диффузоре и, в частности, наличием отрывов пограничного слоя от боковых стенок. Поэтому расчет таких потерь основывается на теории пограничного слоя с учетом сжимаемости газа.

Сверхзвуковые потоки в сужающихся каналах (сверхзвуковых диффузорах) тормозятся. Действительно, в сужающемся канале скорость сверхзвукового потока уменьшается, и если горло рассчитано правильно, в нем устанавливается критическая скорость. Тогда в расширяющейся части происходит дальнейшее торможение дозвукового потока. Такой диффузор является идеальным, но реализовать его не удастся, так как в сужающемся канале происходят скачки уплотнения, и появляется волновое сопротивление.

2.4 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций , , ,

Выше были установлены количественные соотношения между p, Т, , p0, Т0, и скоростным коэффициентом . Эти выражения представляют собой степенные зависимости различного уровня сложности, что затрудняет, а иногда делает невозможным получение аналитического решения в явном виде.

Часто встречающимся комбинациям параметров присвоили условные обозначения и назвали газодинамическими функциями. Значения газодинамических функций в зависимости от и k вычислены и сведены в таблицы, что значительно облегчает расчеты. К этим функциям относят:

Связь между ними выражается формулой

.

Указанные уравнения связывают параметры газа в одном и том же сечении потока и справедливы независимо от характера течения и происходящих в газе процессов. Переход от параметров в потоке к параметрам заторможенного газа по определению происходит по идеальной адиабате.

С увеличением от нуля до функции , , монотонно уменьшаются от 1 до 0. Это соответствует их физическому смыслу: при малых скоростях ( ) параметры в потоке практически не отличаются от параметров полностью заторможенного газа; с увеличением скорости до предельного значения ( , ) Т, p и при конечном значении параметров торможения стремятся к нулю.

Располагая графиками или таблицами, в которых для каждого значения приведены значения функций , , можно быстро определить параметры торможения по параметрам в потоке и наоборот.

Рассмотрим две газодинамические функции, которые используются в уравнении неразрывности потока. Для этого выразим плотность и скорость потока V через параметры торможения p0, Т0 и приведенную скорость :

,

.

Подставим в уравнение секундного расхода газа полученные выражения

.

Умножим обе части этого выражения на

. (2.19)

Это уравнение связывает расход газа в данном сечении S, скорость в котором задана скоростным коэффициентом λ, с полным давлением, критической скоростью звука и некоторой функцией приведенной скорости

,

где – введенная ранее газодинамическая функция.

Новую газодинамическую функцию определяют как величину, пропорциональную :

.

Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы при иметь . Представленную в таком виде газодинамическую функцию интерпретируют как безразмерную плотность потока:

.

Действительно

.

График функции приведена рис. 2.3.

Ошибка! Ошибка связи.

Рис. 2.3. Зависимость q и y от l

При увеличении от 0 до 1 величина растет от 0 до и далее вновь снижается до нуля при .

Подставляя в (2.19) функцию , имеем

. (2.20)

Заменяя в (2.20) критическую скорость ее значением получим ранее приведенную формулу для вычисления расхода газа:

,

где .

Для воздуха k = 1,4; R = 287 Дж/(кг×К), ВG = 0,04 [м-1×с×К0,5].

При течении со скоростью звука и сечение S оказывается критическим.

При решении ряда задач требуется связать расход газа не с полным, а со статическим давлением в потоке. Такую связь получим из (2.20), если заменить в ней правую часть величиной полного давления согласно выражению

.

Получим соотношение

,

и

, (2.21)

где функция

является второй газодинамической функцией, с помощью которой можно вычислить расход газа. Вид этой функции представлен на рис. 2.3 (ее значения при различных k можно найти в справочных таблицах по газодинамическим функциям). При .

Формулы (2.20) и (2.21) выражают расход газа через параметры его состояния в рассматриваемом сечении потока, и потому справедливы независимо от характера процессов, происходящих в потоке газа.