Задачи на условный экстремум. Теорема Куна-Теккера.

 

Пояснения к рис. 22.1.

Границы допустимой области составлены из отрезков линий:

Если решение лежит внутри допустимой области → ограничение в форме неравенств неактивны, тогда решение задачи можно свести к более простому случаю с ограничениями в форме неравенств поэтому особый интерес представляют решения находящиеся на границе данной области и особенно в угловых точках, где активны два ограничения в форме неравенств. Пусть это будут <0 и <0 – это условие когда max R в угловой точке, т. к. через нее проходит линия = 0. Построим в точке С градиенты всех функций. Градиент перпендикулярен касательной к точке и указывает направление наибольшего возрастания функций. Пусть в точке С функция R(х) достигает условного максимума, т.к. показывает направление наибольшего возрастания R, то он должен образовывать тупой угол с направлением L к касательной = 0 в точке С. и L должны лежать по разные стороны от линии, по которой направлен и по одну сторону с и . Проведем биссектрису угла образованную и , т.к. , и лежат по одну сторону от линии R. В этом направлении точка С до пересечения L и α обозначим через вектор V.

(*1)

(*2)

больше 0, больше 0

(*4)

Аналогичный результат б. получен, если активно т. 1 ограничение , т.е.точка С пренадлежит линии .

Теорема. Условия (*3), (*4) справедливы и для задачи (1)-(3) т.е. м. сформулировать теорему Куна-Таккера. Если функция целевая при наличии ограничений типа равенств и неравенств достигает условного экстремума в некоторой точке С, к. пренадлежит допустимой области, то существуют такие положительные числа , ,… и , из которых хотя бы 1 отлично от 0, такие числа,

что и для выполняется следующия соотношения:

(*5)

(*6)

Поэтому принято больше 0.

Вывод теоремы был сделан для случая max , т о , все остальное остается в силе

матрицы от руки пиши

Система (**5) дополняется условиями (*6). Нужно решить систему (*%) и найти экстримум. (*5),(*6) – необходимые условия существования экстримума при ограничении типа равенств и неравенств.