Признаки сравнения для положительных числовых рядов.
Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда 
и 
. Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство 
(для 
), то ряд тоже сходится.
Т.е: Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: 
, то:
а) При 
ряд сходится. В частности, ряд сходится при 
.
б) При 
ряд расходится. В частности, ряд расходится при 
.
в) При 
признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.
Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд 
. Если есть предел: 
, то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Признак Коши является более сильным признаком, чем признак Даламбера. Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень извлекается из общего члена ряда. Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Рассмотрим ряд 
и распишем его подробнее: 
У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.
В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель 
, но и: 
, 
, 
, …. Например: 
Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.
Или, если выполнены оба условия, то ряд сходится:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю. То есть, 
Если ряд сходится по признаку Лейбница, то также говорят, что ряд сходится условно. Если сходится и ряд, составленный из модулей: 
, то говорят, что ряд сходится абсолютно.
Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.
(Обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно.)
Функциональный ряд состоит из ФУНКЦИЙ: 
Все члены функционального ряда – это функции. 
В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и др. непременно входит буковка «икс», например:. 
Разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
Степенной ряд – это ряд, в общий член 
которого входят целые положительные степени независимой переменной 
. 
: , где 
– это «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Например 
или 
, 
где 
–константа. Например 
или 
Область сходимости ряда - это множество значений «икс», при котором степенной ряд будет сходиться.
Для любого степенного ряда возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале 
. Т.е , если мы выбираем любое значение «икс» из интервала и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости - половина длины интервала сходимости 
2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: 
. Радиус сходимости: 
3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке 
. В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: .
Если ряд имеет вид 
, то он будет сходиться в единственной точке 
,
если ряд имеет вид 
, то, понятно, – в точке «минус а».
Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: 
.