Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

где F − заданная функция указанных аргументов.

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

§ Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';

§ Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно.

Случай 1. Уравнение вида y''= f (x)

Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, что y' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка

Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения.

Случай 2. Уравнение вида y''= f (y)

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид:

 

Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x).

Случай 3. Уравнение вида y''= f (y' ) Для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x).

Случай 4. Уравнение вида y''= f (x,y' )

Используем подстановку y' = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x).

Случай 5. Уравнение вида y''= f (y,y' )

Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению

В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка

Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x).

Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4.

 

 

Понятие числового положительного ряда.

В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: Здесь:

· – математический значок суммы; – общий член ряда; – переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности». Суммирование в ряде случаев может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа. В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто: – и так далее, до бесконечности.

Сходимость числовых положительных рядов. Необходимый признак сходимости ряда

При этом возможны два случая исследование ряда на сходимость:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: . Например, Очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится

2) Ряд сходится. , т.е. бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : .

В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию . Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии. В данном случае: , . Таким образом: . Получено конечное число, значит, ряд сходится.