Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая неограниченно приближается по мере удаления в бесконечность.

Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид . Если наклонная асимптота существует, то k и b находятся по формулам:

 

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k = 0, то . Если этот предел существует и конечен, то y=b – уравнение горизонтальной асимптоты.

Общая схема исследования функции и построения ее графика:

1) найти область определения функции;

2) найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат;

3) выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида;

4) исследовать функцию на непрерывность;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти экстремумы, интервалы монотонности функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции;

8) на основании проведенного исследования построить график функции.