Непрерывность функции в точке.

Пусть функцияу = f(x)определена в точке х₀ и некоторой окрестности этой точки. Функцияу = f(x) называется непрерывной в точке х_0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, lim f(x) = f(x₀) х→х₀

Теоремы о непрерывности функции

Теорема 1.Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (Для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю )

Теорема 2.Пусть функция u =  (x) непрерывна в точке х_0, функция y = f(u) непрерывна в точке u₀ =  (x₀). Тогда сложна функция f((x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х_0.

Теорема 3 Еслифункцияу = f(x) непрерывна и строго монотонна на [а, в] оси Ox, то обратная ей функция у = (x)- непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c, d] оси Оу.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

Теорема 2Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорем 3Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, в] и принимает на его концах неравные значения f(а) = А и f(в) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.