Простейшие задачи аналитической геометрии
Прежде чем приступить к изучению алгебраических кривых и поверхностей
1–го порядка, рассмотрим некоторые простые, часто встречающиеся задачи.
А) Вычисление расстояния между точками.Пусть в пространстве задана система координат и имеются 2 точки: М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2).Требуется найти расстояние между ними. Ясно, что это расстояние равно длине вектора 
. Координаты мы умеем вычислять:
=(x2–x1, y2–y1, z2–z1) .
Поэтому его длина 
.
Аналогично, расстояние между двумя точками М1(x1, y1)иМ2(x2, y2)на плоскости равно 
. Расстояние между точками М1, М2можно обозначать и без черты сверху: |М1М2| .
Пример 5. Найти длины сторон треугольника АВС,если его вершины находятся в точках А(3, 0, 2), В(5,–1, 4), С(2, 1, 0).
Решение. 
.
Аналогично 
.
Б) Деление отрезка в данном отношении.Пусть даны две точки: М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2).Разделить М1М2в отношении l1 : l2означает: найти на этом отрезке точку М(x, y, z)так, чтобы 
. Найдём координаты точки М. Для этого рассмотрим векторы
.
Эти векторы коллинеарны, одинаково направлены. Поэтому существует число l >0такое, что 
. Но тогда 
, поэтому 
. Получаем: (x–x1, y–y1, z–z1)= 
(x2–x, y2–y, z2–z).Сравним первые координаты: (x–x1)= (x2–x) .Отсюда найдём x: l2x–l2x1=l1x2–l1x, l2x+l1x=l1x2+l2x1, 
.
Аналогично 
.
Очевидно, формулы для плоской задачи такие же.
Пример 6. Найти точку пересечения медиан в треугольнике с вершинами
А(2,–3), В(0, 5), С(4, 1).
| B K D A C |
Решение. Как известно из школьной геометрии, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1,считая от вершины. В нашем случае: 
. Найдем сначала координаты точки D. По определению медианы: 
. По формулам деления отрезка получаем:
, 
. Итак, D(2, 3).Опять применяем формулы деления отрезка для отыскания координат точки K :
Ответ: K(2, 1).
В) Пересечение линий. Рассмотрим задачу: найти точки пересечения двух кривых на плоскости. Допустим, что известны уравнения, задающие эти кривые (в некоторой системе координат):
f1(x, y)=0 , f2(x,y)=0 .
Так как точка пересечения лежит на каждой кривой, то она удовлетворяет каждому уравнению, т.е. удовлетворяет системе уравнений. Обратно, любое решение системы уравнений
определяет координаты точки пересечения кривых.