ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4.
ОСНОВЫ РАБОТЫ В MATHCAD
Часть 1
Задача 1.1.Дан ряд 
. Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда 
и найти величину погрешности при значениях 
= 
, 
, 
, 
, 
.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда.
2. Используя функцию 
( )= 
, вычислить значения частичных сумм
ряда при указанных значениях .
3. Для каждого вычислить величину абсолютной погрешности
и определить количество верных цифр в 
.
4. Представить результаты в виде гистограммы.
Задача 1.2.Дана матрица A= 
. В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.
Задача 1.3. Для заданной матрицы A найти обратную матрицу (если это возможно). Затем в элемент 
внести погрешность в 10% и снова найти обратную матрицу. Объяснить полученные результаты.
Задача 1.4. Найти ранг заданной матрицы A. Затем внести погрешность в 0.1% а) в элемент ; b) во все элементы матрицы и снова найти ранг. Объяснить полученные результаты.
Задача 1.5. Дано квадратное уравнение 
. Предполагается, что один из коэффициентов уравнения (в индивидуальном варианте помечен *) получен в результате округления. Произвести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента. Вычислить корни уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности. Сравнить полученные результаты.
Задача 1.6. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.B).
Задача 1.7.Вычислить значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон в режимах одинарной , двойной и расширенной точности на двух алгоритмических языках. Сравнить результаты.
Задача 1.8.Составить программу, моделирующую вычисления на ЭВМ с ограниченной разрядностью m. Решить задачу 1.1 для случая =10000 , используя эту программу. Составить график зависимости погрешности от количества разрядов m=4,5,…8.
Задача 1.9. Для матрицы A решить вопрос о существовании обратной матрицы в следующих случаях:
1) элементы матрицы заданы точно;
2) элементы матрицы заданы приближенно с относительной погрешностью a) 
=a% и b) = b%. Найти относительную погрешность результата.
УКАЗАНИЕ. См. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.С.
Задача 1.10.Три вектора
, 
, 
заданы своими координатами в базисе i , j , k .Что можно сказать о компланарности этих векторов, если: 1) координаты векторов заданы точно;
2) координаты векторов заданы приближённо с относительной погрешностью а) d = a % ; б) d = b %.
УКАЗАНИЕ. См. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.С.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.A.
Cхема вариантов к лабораторной работе 1
| N | Выполняемые задачи | N | Выполняемые задачи |
| 1.1.1, 1.2.1, 1.7, 1.6, 1.10.1 | 1.1.16, 1.5.4, 1.7, 1.6, 1.8 | ||
| 1.1.2, 1.3.1, 1,7, 1.6, 1.10.2 | 1.1.17, 1.2.5, 1.7, 1.6, 1.8 | ||
| 1.1.3, 1.4.1, 1.7, 1.6, 1.10.3 | 1.1.18, 1.3.5, 1.7, 1.6, 1.8 | ||
| 1.1.4, 1.5.1, 1.7 , 1.6, 1.10.4 | 1.1.19, 1.4.5, 1.7 , 1.6, 1.9.1 | ||
| 1.1.5, 1.2.2, 1.7, 1.6, 1.10.5 | 1.1.20, 1.5.5, 1.7, 1.6, 1.9.2 | ||
| 1.1.6, 1.3.2, 1.7, 1.6, 1.10.6 | 1.1.21, 1.2.6, 1.7, 1.6, 1.9.3 | ||
| 1.1.7, 1.4.2, 1.7, 1.6, 1.9.1 | 1.1.22, 1.3.6, 1.7, 1.6, 1.9.4 | ||
| 1.1.8, 1.5.2, 1.7, 1.6, 1.9.2 | 1.1.23, 1.4.6, 1.7, 1.6, 1.9.5 | ||
| 1.1.9, 1.2.3, 1.7, 1.6, 1.9.3 | 1.1.24, 1.5.6, 1.7, 1.6, 1.9.6 | ||
| 1.1.10, 1.3.3, 1.7, 1.6, 1.9.4 | 1.1.25, 1.2.1, 1.7, 1.6, 1.10.1 | ||
| 1.1.11, 1.4.3, 1.7, 1.6, 1.9.5 | 1.1.26, 1.3.1, 1.7, 1.6, 1.10.2 | ||
| 1.1.12, 1.5.3, 1.7, 1.6, 1.8 | 1.1.27, 1.4.1, 1.7, 1.6, 1.10.3 | ||
| 1.1.13, 1.2.4, 1.7, 1.6, 1.8 | 1.1.28, 1.5.1, 1.7, 1.6, 1.10.4 | ||
| 1.1.14, 1.3.4, 1.7, 1.6, 1.8 | 1.1.29, 1.2.2, 1.7, 1.6, 1.10.5 | ||
| 1.1.15, 1.4.4, 1.7, 1.6, 1.8 | 1.1.30, 1.3.2, 1.7, 1.6, 1.10.6 |
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1
Таблица к задаче 1.1
| N | 
| N |
| N |
|
| 1.1.1 | 
| 1.1.11 | 
| 1.1 21 | 
|
| 1.1.2 | 
| 1.1.12 | 
| 1.1.22 | 
|
| 1.1.3 | 
| 1.1.13 | 
| 1.1.23 | 
|
| 1.1.4 | 
| 1.1.14 | 
| 1.1.24 | 
|
| 1.1.5 | 
| 1.1.15 |  
| 1.1.25 | 
|
| 1.1.6 | 
| 1.1.16 | 
| 1.1.26 | 
|
| 1.1.7 | 
| 1.1.17 | 
| 1.1.27 | 
|
| 1.1.8 | 
| 1.1.18 |
| 1.1.28 | 
|
| 1.1.9 | 
| 1.1.19 | 
| 1.1.29
| 
|
| 1.1.10 | 
| 1.1.20 | 
| 1.1.30 | 
|
Таблица к задаче 1.2
| N | A | N | A | N | A |
| 1.2.1 | 3 2 2 33 28 24 360 320 270 | 1.2.2 | 30 34 19 314 354 200 2 8 13 | 1.2.3 | 1.3 1 13 3.4 1.4 23 5 3 1.5 |
| 1.2.4 | 9 5 6 17 9 11 7 4 5 | 1.2.5 | -7 -7 -1 0 -2 -6 5 6 4 | 1.2.6 | 3 1 13 5 3 15 11 5 40 |
Таблица к задаче 1.3
| N | A | N | A | N | A |
| 1.3.1 | 2 16 -6 3 24 5 1 8 11 | 1.3.2 | 2 4.4 -2 1 2 -1 3 -5 0 | 1.3.3 | 3 5 3 9 15 9 6 7 2 |
| 1.3.4 | 48 3 6 32 2 4 5 -1 2 | 1.3.5 | 2 0.4 6 1.1 0.2 3 2.3 1.2 4 | 1.3.6 | 5 5.5 5.5 1 1 1 5 -1 2 |
Таблица к задаче 1.4
| N | A | N | A | N | A |
| 1.4.1 | 1.1 0.1 0.8 1.6 1.3 -0.3 1.2 2.1 0.9 0.5 0.4 1.1 -0.4 -3.8 2 1.3 | 1.4.2 | 0.6 4.5 0.3 3 -2.4 -12 0.9 -7 1.2 9 0.6 6 -1.2 3 3.6 4 | 1.4.3 | 1.8 4 0 1.9 20.9 37 -25 19.2 0.5 3 5 1.1 10.6 16 -20 8.9 |
| 1.4.4 | 2 15 22 7 1 14.1 18.8 2.3 2 4 9 9 -0.4 2.5 2.1 -2.4 | 1.4.5 | 1.9 9 1.6 0.1 11.3 23 6.8 -3.7 0.5 10 1.1 1.1 0.9 -11 -0.6 -2.1 | 1.4.6 | 1.2 9 0.6 6 1.6 23 -7.2 9 2 4 9 9 2 37 -15 12 |
Таблица к задаче 1.5
| N | Коэффициенты | N | Коэффициенты | N | Коэффициенты |
| 1.5.1 | b* = -39.6 c = -716.85 | 1.5.2 | b = 27.4
c* = 187.65
| 1.5.3 | b* = 37.4 c = 187.65 |
| 1.5.4 | b = -30.9 c* = 238.7 | 1.5.5 | b* = -3.29 c = 2.706 | 1.5.6 | b = -3.29 c* = 2.706 |
Таблица к задаче 1.9
| N | A | a | b | N | A | a | b |
| 1.9.1 | 31 27 22 32.2 28.2 24 36 32 27 | 0.1 | 0.4 | 1.9.2 | 30 34 19 31.4 35.4 20 24 28 13 | 0.05 | 0.1 |
| 1.9.3 | 3 1 13 13.4 11.4 23 5 3 15 | 0.05 | 0.1 | 1.9.4 | 9 5 6 13.5 9.5 11 8 4 5 | 0.1 | 0.5 |
| 1.9.5 | -7 -8 -10 28.6 27.6 25 7 6 4 | 0.1 | 0.2 | 1.9.6 | -3 -1 -13 26.8 22.4 46 5 3 15 | 0.1 | 0.1 |
Таблица к задаче 1.10
| N | а1 | а2 | а3 | a | b |
| 1.10.1 | ( 10 , 15 , 1) | ( 0.7, 5.7, -9) | ( 11, 16, 2) | 0.05 | 0.1 |
| 1.10.2 | (- 2 , - 5 , 13) | (14.2 , 11.2 , 28) | ( 0, -3, 15) | 0.5 | 0.1 |
| 1.10.3 | ( 24, 28, 13) | (21.1, 25.1, 10) | ( 18, 22, 7) | 0.05 | 0.01 |
| 1.10.4 | ( 9, 17, 1) | (27, 35, -18) | ( 6, 14, 4) | 0.5 | 0.1 |
| 1.10.5 | (14, 4, 17) | (33.9, 23.9 , 38) | ( 13, 3, 16) | 0.05 | 0.1 |
| 1.10.6 | ( 9, 17, 1) | (27, 35, -18) | ( 6, 14, 4) | 0.5 | 0.1 |
Часть 2
Отчетпо лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) результаты вычислительного эксперимента; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал (если необходимо);
6) тексты программ.
Варианты заданий к задачам 2.1-2.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.A.
Фрагмент решения задачи 2.1 дан в ПРИЛОЖЕНИИ 2.B.
Задача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью 
все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции root пакета MATHCAD.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.
2. Используя пакет MATHCAD, локализовать корни f(x)=0 графически.
3. Используя программу bisec (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.B), найти корни уравнения f(x)=0 с точностью 
с помощью метода бисекции.
4. Используя встроенную функции root пакета MATHCAD, найти корни уравнения f(x)=0 с точностью .
5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.
Задача 2.2.Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью 
, двумя способами.
а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].
b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).
Сравнить число итераций в п. a), b).
Задача 2.3.Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью 
, используя метод простой итерации. К виду x=j(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.
a) Преобразовать уравнение к виду x=x-af(x), где a=2/(M+m), 
, а x принадлежит отрезку локализации [a, b].
b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.
Использовать критерий окончания итерационного процесса вида 
, где в п. a) q=(M-m)/(M+m), в п. b) 
.
Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).
Задача 2.4.Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью 
, используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).
Задача 2.5.Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a,b], с точностью , используя модификацию* метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5. По числу итераций определить кратность корня.
Задача 2.6.Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и 
, используя метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .
Задача 2.7.Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих**. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .
Задача 2.8.Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью , используя метод Ньютона.
УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.
Задача 2.9.a)Локализовать корни уравнения f(x)=0. Уточнить их с точностью 
, используя метод Ньютона. Для поиска кратного корня и определения его кратности следует использовать модификацию метода Ньютона для случая кратного корня с m=1,2,3. При любых ли начальных приближениях такой метод сходится?
b) Рассмотреть уравнение f(x)+d=0, где 
. Найти корень кратности 1, используя метод Ньютона. Применить для нахождения кратного корня соответствующую модификацию* метода Ньютона. Удается ли найти кратный корень? Если нет, то использовать метод Ньютона с комплексными начальными приближениями. Сохранился ли кратный корень? Объяснить результаты.
Задача 2.10.Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений функции y=f(x) с шагом h=0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с точностью ). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.A.
Схема вариантов к лабораторной работе 2
| N | Выполняемые задачи | N | Выполняемые задачи | N | Выполняемые задачи |
| 2.1.1, 2.2.1, 2.10.1 | 2.1.11, 2.6.2, 2.9.4 | 2.1.21, 2.4.4, 2.8.2 | |||
| 2.1.2, 2.3.1, 2.9.1 | 2.1.12, 2.7.2, 2.8.4 | 2.1.22, 2.5.4, 2.10.3 | |||
| 2.1.3, 2.4.1, 2.8.1 | 2.1.13, 2.2.3, 2.10.5 | 2.1.23, 2.6.4, 2.9.3 | |||
| 2.1.4, 2.5.1, 2.10.2 | 2.1.14, 2.3.3, 2.9.5 | 2.1.24, 2.7.4, 2.8.3 | |||
| 2.1.5, 2.6.1, 2.9.2 | 2.1.15, 2.4.3, 2.8.5 | 2.1.25, 2.2.5, 2.10.4 | |||
| 2.1.6, 2.7.1, 2.8.2 | 2.1.16, 2.5.3, 2.10.1 | 2.1.26, 2.3.5, 2.9.4 | |||
| 2.1.7, 2.2.2, 2.10.3 | 2.1.17, 2.6.3, 2.9.1 | 2.1.27, 2.4.5, 2.8.4 | |||
| 2.1.8, 2.3.2, 2.9.3 | 2.1.18, 2.7.3, 2.8.1 | 2.1.28, 2.5.5, 2.10.5 | |||
| 2.1.9, 2.4.2, 2.8.3 | 2.1.19, 2.2.4, 2.10.2 | 2.1.29, 2.6.5, 2.9.5 | |||
| 2.1.10, 2.5.2, 2.10.4 | 2.1.20, 2.3.4, 2.9.2 | 2.1.30, 2.7.5, 2.8.5 |
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 2
Таблица к задаче 2.1
| N | f(x) | g(x) | [a, b] |
| 2.1.1 | 
| 
| 
|
| 2.1.2 | 
| 
| 
|
| 2.1.3 | 
| 
| 
|
| 2.1.4 | 
| 
| 
|
| 2.1.5 | 
| 
| 
|
| 2.1.6 | 
| 
|
|
| 2.1.7. | 
| 
| [5,25] |
| 2.1.8 | 
| 
| [0.1,10] |
| 2.1.9 | 
| 
| [0.1,2] |
| 2.1.10 | 
| 
| 
|
| 2.1.11 | 
| 
|
|
| 2.1.12 | 
| 
| 
|
| 2.1.13 | 
| 
| [0,3] |
| 2.1.14 | 
| 
| [0,2] |
| 2.1.15 | 
| 
| [0,3] |
| 2.1.16 | 
|
|
|
| 2.1.17 | 
| 
|
|
| 2.1.18 | 
| 
|
|
| 2.1.19 | 
| 
| 
|
| 2.1.20 | 
| 
|
|
| 2.1.21 | 
| 
|
|
| 2.1.22 | 
| 
| [0.001,3] |
| 2.1.23 | 
| 
| [0.1,35] |
| 2.1.24 | 
| 
| [0.01,3] |
| 2.1.25 | 
|
|
|
| 2.1.26 | 
| 
| [-0.5,1.5] |
| 2.1.27 | 
| 
| [-1.5,0] |
| 2.1.28 | 
|
| [1,3] |
| 2.1.29 | 
| 
| [0,3] |
| 2.1.30 | 
|
| [0,5] |
Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3
| N | f(x) | Найти корень | N | f(x) |
| 2.2.1 | 
| отрицательный | 2.3.1 | 
|
| 2.2.2 | 
| положительный | 2.3.2 | 
|
| 2.2.3 | 
| положительный | 2.3.3 | 
|
| 2.2.4 | 
| наибольший по модулю | 2.3.4 | 
|
| 2.2.5 | 
| все корни | 2.3.5 | 
|
Таблица к задаче 2.4
f(x) 
| |||||
| N | 
| 
| 
| 
| 
|
| 2.4.1 | 4.545004 | -3.055105 | -18.06895 | 4.002429 | 4.722482 |
| 2.4.2 | -2.656764 | -3.406111 | 10.89372 | -1.752935 | -3.423612 |
| 2.4.3 | -4.556062 | 2.93309 | 9.274868 | -10.32081 | 0.422098 |
| 2.4.4 | 7.809249 | 16.28542 | -2.771356 | -27.95304 | -11.33921 |
| 2.4.5 | -13.0072 | 60.24546 | -122.0716 | 105.6798 | -30.19201 |
Таблица к задаче 2.5
| N | f(x) | [a, b] |
| 2.5.1 | 
| [0.8,1.2] |
| 2.5.2 | 
| [0.3,0.7] |
| 2.5.3 | 
| [0.5,1] |
| 2.5.4 | 
| [0,1] |
| 2.5.5 | 
| [0,0.7] |
Таблица к задаче 2.6 Таблица к задаче 2.7
| N | f(x) | Метод* | N | f(x) |
| 2.6.1 | 
| упрощенный метод Ньютона | 2.7.1 | 
|
| 2.6.2 | 
| метод ложного положения | 2.7.2 | 
|
| 2.6.3 | 
| метод простой итерации | 2.7.3 | 
|
| 2.6.4 | 
| метод секущих | 2.7.4 | 
|
| 2.6.5 | 
| метод Стеффенсена | 2.7.5 | 
|
Таблица к задаче 2.8 Таблица к задаче 2.9
| N | f(x) | N | f(x) |
| 2.8.1 | 
| 2.9.1 | 
|
| 2.8.2 | 
| 2.9.2 | 
|
| 2.8.3 | 
| 2.9.3 | 
|
| 2.8.4 | 
| 2.9.4 | 
|
| 2.8.5 | 
| 2.9.5 | 
|
Таблица к задаче 2.10
| N | F(x,y) |
| 2.10.1 |  ,  , 
|
| 2.10.2 |  , , 
|
| 2.10.3 |  ,  , 
|
| 2.10.4 |  ,  , 
|
| 2.10.5 |  ,  , 
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. В