Метод непосредственного интегрирования

Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение

(5)

которое с учетом , дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

(6)

Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий.

Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента Мх(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 2. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке


Рис.2. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент Мx появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

(7)

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

а с учетом дифференциального соотношения Qy=dMx/dz, получаем

(8)

Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=Mx/EJx, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 3 приведена эпюра Мx, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.


Рис.3. Расчетная схема балки, содержащая n углов

 

 

  1. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки с несколькими участками. Метод Клебша.

 

Правила Клебша сводятся к следующему.

1) выражаем через внешние силы, которые лежат только слева (или только справа) от сечения.

2) Если погонная сила q не доходит до правого конца, то ее доводим до этого правого конца и уравновешиваем ее снизу (рис.16.9)

 
 

 


Рис.16.9

3) Если имеется сосредоточенный момент mо, то его вклад записываем в виде , где а - расстояние до момента mо.

4) Интегрируем, не раскрывая скобок.

При выполнении этих условий все константы С на разных участках будут одинаковы. Аналогично будут одинаковы все константы D.

Справедливость правил Клебша доказывается непосредственной проверкой, то есть подстановкой решения в условия стыковки решения на границе участков. Рассмотрим, например, случай, приведенный на рис.16.12.

 
 

 

 


рис16.12

 

По правилам Клебша момент на участках (1), (2) запишем в виде:

(1):

(2):

Дифференциальные уравнения на участках:

(1)

(2)

Решение этих уравнений на участках (1), (2) имеет вид:

Участок (1): .

Участок (2): .

Отсюда видно, что при S = a получим равенство углов наклона и прогибов, вычисленных по разным формулам при любых С и D, т.е. условия гладкости изогнутой оси выполняются. Аналогично проверяются условия гладкости на границе участка, на которой заканчивается погонная сила q.

 

 

  1. Статически неопределимые задачи изгиба балок и методы их решения. Расчеты на жесткость.
  2. Балки на сплошном упругом основании. Основные понятия и гипотезы.
  3. Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании.
  4. Расчеты бесконечной балки на упругом основании при действии сосредоточенной силы.
  5. Понятие о расчете коротких балок на упругом основании.

 

  1. Сложное сопротивление бруса; примеры.