Лекция № 6

По теореме Крамера тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (6.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда (т.е. решений системы бесконечное множество).

Любое решение системы линейных однородных уравненийвыражается в виде линейной комбинации векторов (если ):

 

, …, . (6.2)

 

Покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицу из их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нуля.

, следовательно столбцов матрицы линейно независимы.

Згначит векторы линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

 

Определение 6.1.Всякая линейно независимая система решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений.

 

Замечание 1. Отличный от нуля минор матрицы порядка , такой, что всякие миноры порядка и выше, (если такие имеются) равны нулю, называется базисом.

Итак, общее решение системы линейных однородных уравнений:

, (6.3)

где – фундаментальная система решений,

– произвольные постоянные.

 

Пример 6.1.Решить систему уравнений

Решение. ~ .

 

, , .

 

6.2. Системы линейных неоднородных уравнений

 

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

(6.4)

Пусть .

Пусть – решение этой системы, т.е.

(6.5)

Вычитая из (6.4) выражение (6.5), получим:

.

является решением соответствующего однородного уравнения.

Согласно (6.3) .

В нашем случае

или . (6.6)

 

Теорема 6.2.Общее решение системы линейных неоднородных уравнений представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1.Разность двух произвольных решений систем линейных неоднородных уравнений является решением соответствующей системы линейных однородных уравнений .

Следствие 2.Сумма любого частного решения системы линейных неоднородных уравнений с любым частным решением соответствующей системы линейных однородных уравнений дает частное решение системы линейных неоднородных уравнений.

Пример 6.2.Решить систему уравнений

Решение.

Лекция № 6

Тема : БАШКИРИЯ В КОНЦЕ XIX – НАЧАЛЕ ХХ ВЕКА

1. ТЕРРИТОРИЯ И НАСЕЛЕНИЕ КРАЯ ......................................................... 8

2. СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ........................................22

3. КУЛЬТУРНАЯ ЖИЗНЬ ...............................................................................41