Оно называется уравнением неразрывности струи. В соответствии с (4.2) там, где сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот.

Рис.4.1

Уравнение Бернулли. Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости и давления в них постоянными, т.е. и , в сечении и , в (рис. 4.2).

При движении жидкости за малый промежуток времени сечение , переместится в положение пройдя путь , а сечение - в положение , пройдя . Объем жидкости, заключенный между сечениями и вследствие уравнения неразрывности будет равен объем жидкости, заключенному в промежутке

Рис. 4.2 между и . Трубка имеет некоторый наклон

и центры ее сечений и находятся на высотах и над заданным

горизонтальным уровнем. Учитывая, что и , изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и , может быть представлено в виде

. (4.3)

Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления и , действующие, соответственно, на сечения и , где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока

, (4.4)

где – плотность жидкости Равенство (4.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.

Давление в потоке жидкости. Следует отметить, что в выражении (4.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: –динамическим, – гидростатическим или весовым, – статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (4.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) – величина постоянная, а скорость потока

. (4.5)

Истечение жидкости из отверстия. Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 4.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия - . Для них уравнение Бернулли имеет вид

. (4.6)

Здесь , где - атмосферное давление. Поэтому из (4.6) имеем

(4.7)

Если , то и членом можно

Рис. 4.3 пренебречь. Тогда из (4.7) получим

.

Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:

, (4.8)

 

где . Формула (4.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости . Соответствующая ему масса , где - плотность жидкости. Она имеет импульс . Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе , т.е. действует силой

.

По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила , т.е.

. (4.9)

Здесь - сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы придет в движение, которое называется реактивным движением.

Ламинарное и турбулентное течения. Вязкость. Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым. Если внутри жидкости происходит образование вихрей и интенсивное перемешивание слоев, то такое течение называется турбулентным.

Установившееся (стационарное) течение идеальной жидкости является ламинарным при любых скоростях. В реальных жидкостях между слоями возникают силы внутреннего трения, т.е. реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому, каждый из слоев тормозит движение соседнего слоя. Величина силы внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения слоев и градиенту скорости , т.е.

, (4.10)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей его является (Паскаль- секунда). Вязкость зависит от рода жидкости и от температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается.

Если сила внутреннего трения невелика и скорость течения мала, то движение практически является ламинарным. При больших силах внутреннего трения нарушается слоистый характер течения, начинается интенсивное перемешивание, т.е. происходит переход к турбулентности. Условия этого перехода при течении жидкости по трубам определяется величиной кр, называемой числом Рейнольдса

, (4.11)

где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость течения, - диаметр трубы. Опыты показывают, что при течение ламинарное, при оно становится турбулентным. Для труб круглого сечения радиуса число Рейнольдса . Влияние вязкости приводит к тому, что при скорость течения по трубе круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется формулой Пуазейля

, (4.12)

где - радиус трубы, ( )- разность давлений на концах трубы, - ее длина.

Влияние вязкости обнаруживается и при взаимодействии потока с неподвижным телом. Обычно, в соответствии с механическим принципом относительности, рассматривается обратная задача, Например, Стоксом установлено, что при на шар, движущийся в жидкости, действует сила трения

, (4.13)

где r- радиус шарика, - скорость его движения. Формула Стокса (4.13) в лабораторном практикуме применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей.

Колебания и волны

Колебательным движением, или просто колебанием, называется движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятника и т.д. Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим для них закономерностям. Наипростейшее из них- гармоническое колебательное движение. Колебательное движение называется гармоническим, если изменение физической величины х (смещения) происходит по закону косинуса (или синуса)

, (4.14)

где величина А – равная максимальному смещению х системы из положения равновесия, называется амплитудой колебания, ( , определяет величину смещения х в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени ( фаза колебания равна . Поэтому величина называется начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах, - циклическая частота, равная числу полных колебаний, происходящих за время с.

Период - это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой следующим соотношением

. (4.15)

Очевидно, линейная частота (число колебаний в единицу времени) связана с периодом Т следующим образом

(4.16)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 103Гц называется килогерцем (кГц), в 106Гц, мегагерцем (МГц).

Колебательное движение характеризуется не только смещением х, но также скоростью и ускорением а. Их значения могут быть определены из выражения (4.14).

Продифференцировав (4.14) по времени, получим формулу скорости

. (4.17)

Как видно из (4.17), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна . Из сравнения (4.14) и (4.17) следует, что скорость опережает смещение по фазе на .

Продифференцировав (4.14) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения

. (4.18)

Как следует из (4.14) и (4.18), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

Уравнение плоской бегущей волны

Уравнением волны называется выражение, описывающее зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени :

. (4.20)

Пусть точки, расположенные в плоскости , совершают колебания по закону . Колебания частиц среды в точке (рис.4.4), расположенной на расстоянии от источника колебаний , будут происходить по тому же закону, но, будут отставать по времени от колебаний источника на (где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид: (4.20)

Рис.4.4 Так как точка была выбрана произвольно, то уравнение (5.7) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей волны. В общем случае оно имеет вид: (4.21) где – амплитуда волны; – фаза плоской волны; – циклическая частота волны; – начальная фаза колебаний.

Подставляя в уравнение (4.21) выражения для скорости ( ) и циклической частоты ( ), получим:

(4.22)

Если ввести волновое число , то уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (4.23)

Скорость в этих уравнениях представляет собой скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью. Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна . Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по времени. Получим:

, откуда .

Стоячая волна.Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то выполняется принцип суперпозиции (наложения): каждая волна ведет себя так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн

и , (4.24)

с одинаковыми частотами и амплитудами , распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси . Сложив эти уравнения, получим уравнение результирующей волны, называемой стоячей волн . (4.25)

Рис.4.5 Амплитуда стоячей волны (4.26) является периодической функцией координаты и не зависит от времени. В точках среды, где , амплитуда волны достигает максимального значения ( ). Эти точки называются пучностями ( ) стоячей волны. Координаты пучностей .

 

Таблица 4.1

В бегущей волне В стоячей волне
Амплитуда колебаний
Все точки среды колеблются с одинаковыми амплитудами Все точки среды колеблются с разными амплитудами
Фаза колебаний
Фаза колебаний зависит от координаты рассматриваемой точки Все точки между двумя узлами колеблются в одинаковой фазе . При переходе через узел фаза колебаний изменяется на .
Перенос энергии
Энергия колебательного движения переносится в направлении распространения волны. Переноса энергии нет, лишь в пределах происходят взаимные превращения энергии.

В точках среды, где амплитуда волны обращается в ноль ( ). Эти точки называются узлами ( ) стоячей волны. Координаты узлов .

Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя соседними пучностями), называемое длиной стоячей волны, равно половине длины бегущей волны . Таким образом, при сложении двух бегущих волн образуется стоячая волна, узлы и пучности которой находятся все время в одних и тех же местах.

Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.

Осн. 1 [99-101, 108-116 ], 5 [48-54]. 6 [36-46 ]

Доп. 18 [129-157], 22 [ 25-44]

Контрольные вопросы:

Осн. 1 [131-152 ], 8 [56-66 ].

Контрольные вопросы:

1. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?

2. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?

3.Как соотносятся фазы колебания ускорения и смещения при гармонических колебаниях.