И экономический смысл.

Любое изменение независимой переменной , равное разности , называется приращением этой переменной.

Разность называется приращением функции на отрезке или , где .

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

.

Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке.

Пример 7.1.Пользуясь определением, найдите производную функции .

Придадим аргументу приращение . Тогда соответствующее приращение функции будет иметь вид

.

Отсюда

Таким образом, .

Теорема.Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.

Однако, обратное утверждение вообще говоря не верно. Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например, при .