Обратная матрица

Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если где — единичная матрица.

Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие определитель, который обозначается .

Невырожденной называется матрица , если . Если матрица невырожденная, то существует единственная обратная ей матрица , причем,

,

где — присоединенная матрица, — алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Для составления матрицы следует заменить элементы матрицы соответствующими алгебраическими дополнениями и транспонировать полученную матрицу.

Свойства обратной матрицы:

1. .

2. .

3.

Пример 1.12. Найдите матрицу, обратную к данной .

Выполним следующие шаги:

1) Найдём : .

Так как , то матрица существует.

2) Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

; ;

; .

3) Запишем матрицу :

.

4) Найдём матрицу :

.

Легко проверить, что

§ 6. Ранг матрицы.