Производные и дифференциалы высших порядков
Опр. ,
– дифференцируемая функция, т.е.
, …,
_______________________________________________________
Опр.
ПР. .
Физ. смысл 2-й производной: При прямолинейном движении - ускорение.
Вторая производная для ф-ции, заданной параметрически:
Пусть ф-ция задана
, то
(см.Т.5).
, но
, тогда
=
=
.
ПР. .
,
.
ПР. производные высших пор. для ф-й, заданных неявно
, из условия
,
.
Опр. Вторым дифференциалом называется.
Опр. Дифференциалом порядка n ф-ции наз-ся первый диф-л от диф-ла (n-1)-го порядка этой ф-ции.
.
Т.о.,. .
Зам. Фор-ла верна лишь для независимой переменной x, т.е., если
,
, то,
.
Действительно, пусть ,
. С одной стороны,
. Будет ли
?
, если
, т.е., если
не является линейной. (сам!).
!!! Т.о., дифференциалы порядка выше первого не обладают инвариантностью формы.