Закон больших чисел
В теории вероятностей под этим названием существует группа теорем, утверждающих, что среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к неслучайной величине при неограниченном увеличении числа слагаемых.
Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если X1,X2,...,Xn,... - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии ограниченные одной и той же постоянной D[X1]£C, D[X2]£C, ..., D[Xn]£C, ... , то для любого постоянного e>0 ("e>0)
Доказательство. В условиях теоремы
и, следовательно,
.
Согласно неравенству Чебышева (4)
Переходя к пределу при n®¥ получаем, что
А так как вероятность не может быть >1, то отсюда следует утверждение теоремы.
Отметим некоторые важные частные случаи теоремы Чебышева.
Теорема Хинчина. Если последовательность попарно независимых случайных величин X1,X2,...,Xn,... такова, что M[X1]=M[X2]=...=M[Xn]=m и D[X1]£C, D[X2]£C,..., D[Xn]£C,..., то для любого постоянного e>0,
А это есть условие сходимости по вероятности 
.
Этот частный случай теоремы Чебышева дает основание правилу среднего арифметического, постоянно используемому в теории измерений. Пусть производится измерение некоторой физической величины a. Повторив измерения n раз в одинаковых условиях, наблюдатель получит не вполне совпадающие результаты x1, x2,..., xn,... . В качестве приближенного значения a принято брать среднее арифметическое из результатов наблюдений a~ 
.
Теорема Маркова (закон больших чисел в общей формулировке). Если последовательность произвольных случайных величин X1, X2, ..., Xn, ... такова, что при n®¥ 
®0, то каково бы ни было положительное постоянное e
Если случайные величины X1, X2, ..., Xn, ... попарно независимы, то условие Маркова принимает вид: при n®¥ 
®0. Примем без доказательства.
Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова.