Функция распределения функции случайного аргумента
Для нахождения распределения функции случайного аргумента. предположим, что случайные величины, как скалярные, так и векторные, являются действительными. Способы нахождения распределения функции Y = j(X) случайной величины X основаны на следующем положении. Чтобы случайная величина Y попала на множество В, необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на множество АВ, где АВ={x: j(x)ÎB}. Такое множество АВ называется прообразом множества В и обозначается АВ=j-1(В)..
Поэтому вероятность попадания величины Y=j(X) на множество В равна вероятности попадания величины X на множество АВ={x: j(x)ÎB}. В зависимости от выбора множества В, получаются разные способы нахождения распределения случайной величины Y. В частности, если принять B={Y<y}, вероятность попадания случайной величины X на соответствующее множество АВ=Аy={x: j(x)<y} будет представлять собой функцию распределения функции случайного аргумента Y=j(X). При этом функция j(x) должна быть измеримымой,а также дифференцируемой и непрерывной
Итак, наши рассуждения запишем в виде формулы. Эта формула верна для любых случайных величин.
G(y) = P{Y<y} = P{X ÎАВ}
АВ = {x: j(x) <y}
Здесь G(y) – функция распределения
Характеристические функции
Комплексные случайные величины
Наряду с вещественными случайными величинами мы можем рассматривать и комплексные случайные величины.
Под комплексной случайной величинойX будем понимать функцию X=X1+iX2, где X1 и X2 - действительные случайные величины, (X1, X2) - случайный вектор.
Естественно считать, что M[X]=M[X1]+iM[X2].
Рассмотрим комплексные случайные величины X=X1+iX2 и Y=Y1+iY2.
Комплексные случайные величины X и Y независимы, если векторы (X1, X2) и (Y1, Y2) независимы, т.е. компоненты векторов независимы. Можно проверить, что для таких случайных величин M[XY]=M[X]×M[Y].
Доказательство:
M[(X1+iX2)(Y1+iY2)]=M[X1Y1]+iM[X1Y2]+iM[X2Y1]–M[X2Y2]=M[X1](M[Y1]+ +iM[Y2])+iM[X2](M[Y1]+iM[Y2])=(M[X1]+iM[X2])(M[Y1]+iM[Y2])=M[X]M[Y].