Независимость случайных величин
Определение. Случайные величины X1, X2, ..., Xn называются независимыми в совокупности, если для любого набора событий {XiÎBi}, i=1,2,...,n, где B1,B2,...,Bn - подмножества числовой прямой, выполняется равенство:
P{X1ÎB1,X2ÎB2,...,XnÎBn}=P{X1ÎB1}P{X2ÎB2}...P{XnÎBn} (1)
Следующая теорема также может служить другим определением независимости случайных величин.
Теорема 1. Случайные величины X1,X2,...,Xn независимы тогда и только тогда, когда:
или
(2)
Примем без доказательства.
Если случайные величины X1,X2,...,Xn непрерывны, то важный критерий независимости содержится в теореме 2.
Теорема 2. Пусть случайные величины X1,...,Xn имеют плотности f1(x1),...,fn(xn) соответственно. Тогда для независимости случайных величин необходимо и достаточно, чтобы существовала плотность f(x1...xn) вектора (X1,...,Xn), равная
или
(3)
Примем без доказательства.
Если X1,...,Xn - дискретные случайные величины, то соответствующее условие независимости записывается в виде:
P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}...P{Xn=xn}= 