Оценка параметров уравнения.

 

Изучение взаимосвязей на рынке товаров и услуг – важнейшая функция экономических работников. При этом важно, что изучение связи показателей коммерческой деятельности необходимо не только для установления факта наличия связи. В целях научного обоснования прогнозирования и рационального управления механизмом рыночных отношений важно выявленным связям придать математическую определенность. Без количественной оценки закономерности связи невозможно доводить результаты экономических разработок до такого уровня, что бы они могли использоваться для практических целей.

Статистические показатели коммерческой деятельности, отображая объективную взаимообусловленность отдельных сторон коммерческой деятельности, могут состоять в собой в следующих основных видах связи:

1. Балансовая связь показателей коммерческой деятельности характеризует зависимость между источниками формирования средств и их использованием. Свое проявление она получает, например, в формуле товарного баланса:

Он + П = В + Ок

Левая часть формулы характеризует предложение, а правая – использование товарных ресурсов. Важное практическое значение формулы товарного баланса состоит в том, что при отсутствии количественного учета продажи товаров на ее основе определяют величину розничной реализации отдельных товаров.

2. Компонентные связи показателей коммерческой деятельности характеризуются тем, что изменение статистического показателя определяется изменением компонентов, входящих в этот показатель, как множители:

a = b x c

В статистике коммерческой деятельности компонентные связи используются в индексном методе выявления роли отдельных факторов в совокупном измерении сложного показателя.

Ipq = Ip x Iq

Практическая значимость показателей, состоящих в компонентной связи в том, что она позволяет определить величину одного из неизвестных компонентов.

3. Факторные связи характеризуются тем, что они проявляются в согласованной вариации изучаемых показателей. При этом одни показатели выступают как факторные, другие как результативные. В свою очередь факторные связи могут рассматриваться как функциональные и корреляционные.

При функциональной связи изменение результативного признака (у) всецело обусловлено действие факторного признака (х):

При корреляционной связи изменение результативного признака (у) обусловлено влиянием факторного признака (х) не всецело, а лишь частично, так как возможно влияние прочих факторов (ε):

По своему характеру корреляционные связи – это связи относительные. Здесь при одном и том же учтенном значении факторного признака возможны различные значения результативного признака. Это обусловлено наличием других факторов, которые могут быть различными по составу, направлению и силе действия на отдельные единицы статистической совокупности. Поэтому для изучаемой статистической совокупности в целом здесь устанавливается такое соотношение, в котором определенному изменению факторного признака соответствует среднее изменение признака результативного. Следовательно, характерной особенностью корреляционных связей является то, что они проявляются не в единичных случаях, а в массе. При статистическом изучении корреляционной связи определяется влияние учтенных факторных признаков при отвлечении от прочих аргументов. При изучении корреляционной связи ставятся следующие задачи:

- проверка положений экономической теории о возможности связи между изучаемыми показателями и придание выявленной связи аналитической формы зависимости;

- установление количественных оценок тесноте связи, характеризующих силу влияния факторных признаков на результативные.

Если изучается связь между двумя признаками – это парная корреляция. Если изучается связь между многими признаками – корреляция множественная.

 

 

Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции. При изучении связи показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи:

- линейная –

- параболическая –

- гиперболическая –

Определение параметров уравнения регрессии начинается с факта установления связи рассматриваемых показателей. Для этого производится расчет коэффициента парной корреляции:

Для получения выводов о практической значимости полученному коэффициенту корреляции дается качественная оценка на основе шкалы Чеддока:

Показатель тесноты связи 0,1 - 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 0,9 – 0,99
Характеристика силы связи слабая умеренная Заметная Высокая Весьма высокая

 

При значениях показателей тесноты связи, превышающих 0,7, зависимость результативного признака от факторного является высокой, так как величина коэффициента детерминации всегда будет более 50%.

Коэффициент детерминации характеризует какую долю результативного показателя объясняет влияние изучаемого фактора:

Следовательно, в случае, если коэффициент корреляции превышает 0,7 между результативным показателем и исследуемым фактором существует взаимосвязь, объясняющая изменение результативного показателя от рассматриваемого фактора более чем на 50%.

Пример: проанализировать данные о средней цене на сыр «Пармезан» по Донецкой области за ряд лет:

Года Средняя заработная плата, грн. ( )2 ( )2
97 -3 -120,86 362,58 9 14607,14
158 -2 -59,86 119,72 4 3583,22
180 -1 -37,86 37,86 1 1433,38
195 0 -22,86 0 0 522,5796
220 1 2,14 2,14 1 4,5796
292 2 74,14 148,28 4 5496,74
383 3 165,14 495,42 9 27271,22
Среднее Сумма
4 217,86 0 -0,02 1166 28 52918,86

 

Таким образом, наблюдается высокая зависимость среднемесячной заработной платы от года, а именно, 92% заработной платы объясняются изменением года.

Параметры выбранных для моделирования функций можно находить разными путями. Наиболее точным приемом является методо наименьших квадратов. На его для каждой из функций формируют специальную систему уравнений:

 
 


- линейная –

 
 


- параболическая –

- гиперболическая –

 

В каждой из систем:

У – результативный показатель;

Х – показатель времени;

N – количество наблюдений;

A,b, c – параметры модели.

Отсчет показателя времени начинают с 1. Основываясь на известных значениях х и у, определяют все суммы и подставляют их в систему. В результате чего получают систему уравнений относительно неизвестных параметров. Решая систему находят конкретные цифровые значения параметров и подставляют их в решение моделирующих функций, которые должны быть оценены и использованы на практике.

Пример: произведем расчет вспомогательной таблицы:

х у х2 х3 х4 ух ух2 1/х 1/х2 у/х
1,00 1,00 97,00
0,50 0,25 79,00
0,33 0,11 60,00
0,25 0,06 48,75
0,20 0,04 44,00
0,17 0,03 48,67
0,14 0,02 54,71
Всего 2,59 1,51 432,13

Составим системы уравнений для трех функций и найдем значения параметров уравнений:

- линейная модель: 1525 = 7а + 28b

7266 = 28а + 140b

откуда: a = -5,7 b = 53,04 y = -5,7+53,04x

 
 


- параболическая модель: 1525 = 7a + 28b + 140c

7266 = 28a + 140b + 784c

40248 = 140a + 784b + 4676c

откуда: a = 697,62 b = -114,08 c = 68,59 y = 697,62 – 114,08x + 68,59x2

 
 


- гиперболическая модель: 1525 = 7a + 2,59b

432,13 = 2,59a + 1,51b

откуда: a = 237,65 b = 53,49 y = 237,65 + 53,49/x

 

 

Адекватность экономико-математической модели может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации (среднего процента расхождения теоретических и практических значений):

где у1 – фактические значения результативного показателя;

у0 – теоретические значения, найденные по уравнению.

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5% ошибка. Модель считается адекватной, а следовательно, значимой если .

Выбор наиболее оптимальной модели можно осуществлять на основе остаточного среднеквадратического отклонения (остаточной дисперсии):

где l – количество параметров уравнения.

Наилучшей будет та функция , у которой остаточная дисперсия меньшая.

Оценку надежности уравнения проводить по критерию Фишера, учитывая F–статистику:

где - среднее значение результативного показателя.

Чем больше расчетная величина F–критерия, тем более значимая рассчитанная модель. Расчетное значение сравнивают с критическим значением, которое находят в таблицах распределения Фишера по ступеням свободы (l-1) и (n-l), задавая уровень значимости 0,05 (5% ошибка). Если, F>F табл, то уравнение считается надежным с вероятностью 0,95. В противоположном случае уравнение надежным не считается.

Пример:

- расчет для линейной функции:

У1 У0 У1 – У0 Апроксимация (У1 - У0)2 (У0 – У0сред)2
97 58,74 38,26 0,65 1463,83 25319,17
158 111,78 46,22 0,41 2136,29 11252,97
180 164,82 15,18 0,09 230,43 2813,24
195 217,86 22,86 0,10 522,58 0,00
220 270,90 50,90 0,19 2590,81 2813,24
292 323,94 31,94 0,10 1020,16 11252,97
383 376,98 6,02 0,02 36,24 25319,17
Всего 1,56 8000,34 78770,76

 

F-табличное – 230,2

- для параболической функции:

У1 У0 У1 – У0 Апроксимация (У1 - У0)2 (У0 – У0сред)2
97 652,13 555,13 0,85 308169,32 923463,34
158 743,82 585,82 0,79 343185,07 755647,72
180 972,69 792,69 0,81 628357,44 410124,97
195 1338,74 1143,74 0,85 1308141,19 75273,41
220 1841,97 1621,97 0,88 2630786,68 52381,48
292 2482,38 2190,38 0,88 4797764,54 755647,72
383 3259,97 2876,97 0,88 8276956,38 2712180,80
Всего 5,95 18293360,62 5684719,43

F-табличное – 19,25

- для гиперболичной функции:

У1 У0 У1 – У0 Апроксимация (У1 - У0)2 (У0 – У0сред)2
97 291,14 194,14 0,67 37690,34 1134,34
158 264,40 106,40 0,40 11319,90 48,09
180 255,48 75,48 0,30 5697,23 3,92
195 251,02 56,02 0,22 3138,52 41,44
220 248,35 28,35 0,11 803,61 83,03
292 246,57 45,44 0,18 2064,34 118,70
383 245,29 137,71 0,56 18963,65 148,07
Всего 2,45 79677,59 1577,60

F-табличное – 230,2

 

Таким образом, ни одна из представленных функций не достаточно надежна и не имеет практической значимости в силу больших расхождений между теоретическими и фактическими значениями результативного показателя.

 

 

Для характеристики экономического содержания параметров уравнений наиболее целесообразным является использование коэффициентов эластичности, которые характеризуют, на сколько процентов в среднем изменится функция с изменением аргумента на 1% при фиксированном значении остальных факторов на каком-либо уровне:

Эi = (3.14)

где Эi – коэффициент эластичности i–го фактора;

- параметры регрессии i–го фактора;

- среднее значение i–го фактора;

- среднее значение результативного показателя.