Случай независимой переменной
Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции
где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению
Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка
Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:
Итак,
Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:
Пример
Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции
Решение. По формуле
Найдем третью производную заданной функции:
Тогда
Ответ.
Больше примеров решенийРешение производных онлайн