Графическая иллюстрация.

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть .

Пример.

Найти точки разрыва функции и определить их тип .

Решение.

Найдем область определения функции:

Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть . Проверим функцию на непрерывность в этой точке.

На области определения выражение можно упростить:

Находим пределы слева и справа. Так как функция непрерывна при любом действительном х, то

Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция в точке не определена, поэтому, в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку в этом случае называют точкой скачка функции.

Пример.

Исследовать кусочно-непрерывную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение.

Разрывы могут быть лишь в точках или .

Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

Слева от точки наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции .

В самой точке наша функция есть , поэтому .

На промежутке наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции

В точке наша функция есть , поэтому .

Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции

В итоге имеем:

· следовательно, в точке исходная кусочная функция непрерывна,

· , то есть , следовательно, в точке неустранимый разрыв первого рода (скачок).