Простейшая задача вариационного исчисления.

Задача 1. Пусть - открытая внутренняя область; (точки множества обозначим ), - заданная функция; , - фиксирование точки, . Функцию назовем допустимой , если , , , . Каждой поставим в соответствие действительное число . Требуется определить min функционала I на множестве .

Задача 1 – простейшая вариационная задача.

Замечание: , множество всех определённых на функций, имеющих производные до r порядка включительно, которая допускает разрывы первого рода в конечном числе точек и имеет в них одностороннюю непрерывность.

Краткая запись задачи 1: , , .

Замечание2 Если в определить норму так:

1) , 2) , а расстояние

2) и 2) , то можно вести речь о сильном и слабом локальном минимуме.

Опр1 Локальный минимум в задаче1 сильный (слабый), если окрестность, фигурирующая в его определении задаётся с помощью расстояния нулевого ( ) или (первого ( )) порядка.

Теорема1(необходимые условия локального минимума 1 порядка). Пусть и доставляет локальный минимум в задаче1. Тогда .