Доказательство

Необходимость - седловая точка, тогда из (1) следует 1). Перепишем в (1) левое неравенство и тогда (2). Покажем, что . Построим вектор если

если . . Подставляя в (2), получаем .

Условие 2) для доказано; докажем его для .Построим вектор полагая . Из (2) учитывая следует выполнение 2) для .

Достаточность.Пусть для выполняются 1) и 2). Правое неравенство в (1) выполняется. Покажем выполнение левого. Из а из 2) если Суммируя неравенства, переходим к требуемому неравенству.

Замечание. Т.к. в фиксированной точке на оптимальные свойства целевой функции в некоторой окрестности точки влияют лишь те ограничения, для которых выполняется условие , то вводится понятие активного ограничения в активно в , если .

Теорема 2. Пусть пара есть седловая точка для функции Лагранжа в задаче ВП, тогда .