Секторная скорость, теорема площадей

Секторной скоростью точки или относительно центра О называют векторную величину, определяемую по формуле

-вектор, численно равный заштрихованной на рисунке площади, заметаемой радиус-вектором

движущейся точки за время Dt, направление вектора

берется перпендикулярно плоскости движения по правилу правого винта. Секторная скорость перпендикулярна плоскости движения и приложена в точке, относительно которой она вычисляется.

Тогда ,

то есть

Направление вектора также соответствует правилу векторного произведения, так что

Согласно этому теорему об изменении кинетического момента точки можно записать в виде:

Центральной называют силу, действующую на точку, линия действия которой при движении точки все время проходит через некоторую неподвижную точку – центр силы. Центр силы может быть как притягивающим, так и отталкивающим. Для центральной силы ее момент относительно ее центра всегда равен нулю и

В проекциях на декартовы оси координат имеем:

здесь С₁,С₂,С₃ – константы.

Умножая первое соотношение на x, второе – на y, третье – на z и складывая, получим:

С₁x+С₂y+С₃z=0;

то есть координаты движущейся точки x,y,z удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начало координат О.

Траектория точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской кривой, лежащей в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы.

Так как , то и

или .

Эта формула выражает интеграл площадей: при движении точки под действием центральной силы секторная скорость является постоянной величиной и, следовательно, заметаемая радиус-вектором площадь пропорциональна времени.

Сравним это со вторым законом Кеплера: «Секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна».

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Рассмотрим систему отсчета S’, связанную с центром масс материальной системы, оси (x’y’z’) этой системы параллельны осям системы S (Oxyz). Система отсчета S’ называется системой отсчета Кенига. Для любой точки материальной системы справедливо соотношение

Для поступательного движения системы точек имеем для скоростей точек : , при этом (, т.к. система S’ не вращается и всегда движется поступательно).

Составим выражение для кинетического момента системы точек и подставим в него выражение для :

По определению положения центра масс в системе S’ и последних два слагаемых обращаются в ноль (предпоследнее обращается в ноль в силу ).

Окончательно , то есть кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки О равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно этой же точки, как если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к подвижной системе координат S’, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Теорема об изменении кинетического момента: .

Подставляя сюда ранее полученные выражения для и , после преобразований получим:

Перенося из правой части в левую первое слагаемое и учитывая, что имеем

Выражение в круглых скобках равно нулю на основании теоремы о движении центра масс. Тогда

Это теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе, движущейся поступательно с центром масс, она формулируется также, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

Используя теорему о движении центра масс и изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе S’, движущейся поступательно вместе с центром масс, получим три дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела:

Первые два уравнения являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в плоскости Oxy, третье уравнение – дифференциальное уравнение вращения тела относительно центра масс.

Лекция 14 (динамика)

«Теорема об изменении кинетической энергии, закон сохранения механической энергии»

Теорема об изменении кинетической энергии

Работа силы. Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус-вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна также скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если сила Fперпендикулярна приращению радиус-вектора dr, то элементарная работа силы равна нулю.

Полная работа силы

Другое определение: , где t=0 соответствует положению М₀, а момент времени t – положению М.

Последняя формула удобна для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени.

Размерность работы [A]=1Дж=1Н×м

Мощность. Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он может совершить за единицу времени.

Размерность мощности [W]=1Вт=1Дж/с.

Работа силы тяжести.

P_x=0, P_y=0, P_z= - mg

Для системы точек для каждой точки работа A_i=m_ig(z₀_i-z₁_i), полная работа

Работа линейной силы упругости.

Линейная сила упругости действует по закону Гука , где r – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М, с – постоянный коэффициент жесткости. Выберем начало координат в точке равновесия, тогда работа

где l - деформация (удлинение) пружины.

Работа силы, приложенной к твердому телу.

При поступательном движении

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

(при выводе последнего соотношения мы использовали свойство смешанного векторно-скалярного произведения)

Полная работа

Для свободного тела.

Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела (полюсом) и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией Т материальной точки называют ½ произведения массы точки на V²: T=½ mv². Размерность кинетической энергии - 1Дж=1Н м

Кинетической энергией системы Т называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, то есть

Теорема Кенига. Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс (оси Кенига из параграфа «Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела»).

Запишем связь координат и скоростей точек системы в абсолютной (неподвижной) и подвижной системе отсчета:

Выражение для кинетической энергии системы может быть представлено в следующем виде:

;

В силу того, что начало подвижной системы отсчета совмещено с центром масс системы точек и третье слагаемое в предыдущей формуле обращается в ноль (выражение в круглых скобках в системе отсчета, связанной с центром масс, равно нулю).

В итоге получаем:

Это означает, что кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.

Примеры:

1. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении -

2. Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси –

3. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении -

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Умножим скалярно второй закон Ньютона на

После несложных преобразований получим:

или ;

также

то есть изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек

Для каждой точки системы имеем:

Здесь мы выразили равнодействующую силу для точки m_k в виде суммы равнодействующих внешних и внутренних сил, действующих на точку.

Проводя суммирование и вынося знак дифференциала за знак суммы, будем иметь:

или

Получили закон изменения кинетической энергии для системы точек: «изменение кинетической энергии системы точек равно работе все внутренних и внешних сил на всех перемещениях всех точек». Работа внутренних сил не равна нулю, поскольку под действием одинаковых сил действия и противодействия точки разной массы имеют различные перемещения и работа внутренних сил полностью не компенсируется.

Проведем интегрирование между начальным и конечным положением системы, тогда будем иметь:

или

Имеем теорему в конечной форме: «изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек при том же изменении положения системы».

Для твердого тела и

Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия

Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координат точки и времени (стационарный и нестационарный случаи).

Силовое поле называют потенциальным, если имеется силовая функция , такая, что

Силовая функция определяется с точностью до постоянной, так как добавка в виде константы под знак частной производной не влияет на значения F_x, F_y, F_z.

Запишем работу силы потенциального силового поля:

Элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции.

Полная работа силы на участке от положения М₀ до положения М равна

Эта работа не зависит от формы траектории, работа силы в потенциальном силовом поле по замкнутой траектории равна нулю.

Можно показать, что необходимым и достаточным условием того, что силовое поле является потенциальным, является условие , то есть поле безвихревое.

Непотенциальными являются силы сопротивления, зависящие от скорости и силы трения. Сила сухого трения скольжения не будет потенциальной, так как хотя она постоянна и не зависит от скорости, но направление силы трения от скорости зависит.

Наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию.

Потенциальной энергией Pматериальной точки в рассматриваемой точке силового поля M называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из положения M в начальное положение M₀:

Постоянная С₀ одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля была выбрана за начало отсчета.

В конечном итоге имеем: , то есть силовая функция и потенциальная энергия отличаются знаком о определены с точностью до постоянной.

Закон сохранения механической энергии

Для материальной точки ранее имели: .

Если материальная точка движется в стационарном потенциальном силовом поле, то A=P₀ - P, то есть

При движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной величиной. Это и является формулировкой закона сохранения полной механической энергии.

Для системы точек в стационарном потенциальном силовом поле

Здесь P - потенциальная энергия внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. Отсюда

T-T₀=P₀ - P или T+P=T₀+P₀=E=E₀,

то есть полная механическая энергия при движении системы в стационарном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной.

Для твердого тела P - потенциальная энергия внешних сил, так как потенциальная энергия внутренних сил постоянна и может быть положена равной нулю. Для изменяемой механической системы учитываем потенциальную энергию и внутренних сил.

Если для системы выполняется закон сохранения механической энергии, то она называется консервативной.

Диссипативные силы характерны тем, что приводят к уменьшению механической энергии E (переводя ее в тепло).

Лекция 15 (Аналитическая механика)

«Принцип Даламбера, главный момент и главный вектор сил инерции»

Н аряду с рассмотренными методами изучения движения точки и механической системы, основанными на законах классической механики, применяется метод кинетостатики или принцип Д'Аламбера.