Решение.

Жесткость пружины:

.

Частота собственных колебаний без учёта массы пружины :

.

Приведенная масса пружины:

Частота собственных колебаний с учётом массы пружины:

.

 

Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии трения

Вязкое трение

В этом случае возникает сопротивление движению, которое пропорционально его скорости. При этом сила сопротивления описывается выражением

,

где k- коэффициент пропорциональности.

Примером системы, работающей в условиях вязкого трения, может служить гидравлический амортизатор, который создаёт сопротивление движению поршня, зависящее не от перемещения (как это свойственно упругим связям), а от скорости и пропорционально её первой степени. Подобные устройства применяются, например, в конструкциях автомобильной подвески. Гидравлический амортизатор состоит из одного или нескольких цилиндров с поршнями или из камеры, в которой может вращаться крыльчатка. Цилиндры и камера наполнены амортизационной жидкостью. При движении поршней или крыльчатки эта жидкость продавливается через калиброванные отверстия; этим создаётся сопротивление, по характеру близкое к вязкому. В формуле R- это сила, действующая на амортизатор, а вязкая реакция амортизатора на колеблющееся тело имеет противоположное направление.

 

 

 

Дифференциальное уравнение движения в рассматриваемом случае таково:

 

,

или

,

где

;.

Для рассматриваемого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид

,

.

Обозначим

.

Тогда решение определяется формулой

 

или

,

 

где

; .

Следовательно, при наличии вязкого трения движение груза описывается непериодическим законом. Тем не менее, часто это движение называют периодическими затухающими колебаниями, несмотря на очевидную невозможность совмещения понятий "периодические" и "затухающие".

Рис. 5

Под периодом этих колебаний понимают время между двумя максимальными смещениями:

.

Величину называют угловой частотой затухающих колебаний.

Отношение двух последовательных максимальных отклонений от положения равновесия

.

Значит, последовательные максимальные отклонения системы от равновесного положения (амплитуды колебаний) представляют собой члены геометрической прогрессии со знаменателем, равным . Чаще рассматривают не отношение двух последовательных амплитуд, а логарифм этого отношения, который называют логарифмическим декрементомколебаний:

.

В металлических конструкциях без специально введенных элементов трения логарифмический декремент составляет обычно от нескольких сотых до десятых долей единицы.

Если колебания затухают медленно и отношение двух последовательных амплитуд близко к единице, то

,

где

;.

Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за период к амплитудеА.

Так как логарифмический декремент колебаний

,

то

.

Подставляя значение n² в формулу для , установим связь между величинами,и:

.

Отсюда следует, что даже при значительном затухании частота затухающих колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний соответствующей системы без трения. Например, при сравнительно большом затухании, когда каждый следующий размах вдвое меньше предыдущего (), частота лишь на 0,6 % меньше, чем . Таким образом, можно считать, что трение практически не влияет на частоту колебаний и .

Определим постоянные интегрирования в решении уравнения затухающих колебаний. Обозначим смещение и скорость в начальный момент времени t₀=0 через x₀ и соответственно. После подстановки начельных условий получим

x₀=C₁; ,

тогда

C₁=x₀; ,

и решение , удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид

Пример 5. Амплитуда собственных колебаний за один период уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний и изменение собственной частоты вследствие затухания.