Законы Ньютона

1. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на тело силы не заставят его изменить движение (причиной изменения движения является сила).

2. Ускорение пропорционально приложеной силе и направлено по прямой, по которой действует сила: (количественная мера действия силы)

3. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению (сила всегда имеет материальный источник, который испытывает обратное действие объекта, к которому приложена сила)

 

Динамика является наукой об ускоряющих силах и о тех движениях, которые эти ускоряющие силы могут вызвать.

2-й закон Ньютона

Сила может быть функцией . Эти три дифференциальных уравнения 2^го порядка имеют общее решение, зависящее от шести произвольных постоянных, определяемых из начальных условий.

 

Аксиома о суперпозиции сил.

При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно ИСО от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки:

;

;

;

Все это справедливо для небольших скоростей.

Размерностью силы является в системе СИ ньютон ([F]=н). Сила в 1н равна силе, сообщающей телу массой 1 кг ускорение, равное 1 м/с².

 

Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Две основные задачи динамики точки.

- равнодействующая,

Декартова система координат:

Естественная система координат:

Второе уравнение можно преобразовать:

Получаем для естественной системы координат:

 

Первая (прямая) задача динамики точки: зная массу точки и ее закон движения, можно

найти действующую на точку силу.

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

 

Пример: x=aCoskt; y=bSinkt, точка массы m.

- эллипс с полуосями a, b

F_x= -mk²aCoskt; F_y= -mk²bSinkt или F_x= -mk²x; F_y= -mk²y

(r-радиус-вектор точки)

Косинусы углов силы F с осями координат:

Отсюда можно заключить, что сила F имеет направление, противоположное вектору r.

Окончательно

 

Вторая (обратная) задача динамики точки: по заданой массе и действующей на точку

силе необходимо определить движение (закон движения) точки,

 

В некоторых случаях силы могут зависеть и от ускорений.

 

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение системы содержит шесть произвольных постоянных С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆.

 

Каждая из координат x,y,z движущейся точки после интегрирования системы зависит от времени и всех шести постоянных

 

x=f₁(t, С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆); y=f₂(t, С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆); z=f₃(t, С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆)

 

Если продифференцировать решения, то для скоростей будем иметь:

 

Таким образом, действующая сила однозначно определяет только ускорение точки и задает целый класс движений, траектории которых и скорости зависят от начального положения и скорости.

Для определения конкретного вида движения необходимо задать начальные условия:

 

в некоторый момент времени t₀ (t=0).

Используя эти условия получаем шесть уравнений для определения произвольных постоянных:

 

Начальные условия определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений.

 

При движении точки в плоскости Oxy имеется два дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий:

 

Для прямолинейного движения имеется только одно уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:

 

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений в общем случае является довольно трудной. Даже для одномерного случая решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной зависимости силы от t, x и v.

 

Основные виды прямолинейного движения точки. Криволинейное движение.

 

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Ох имеет вид:

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме: t=0; x=x₀, v_x=v₀.

 

Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки получаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от времени, или координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изменяют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.

 

Пример 1.

Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v₀. (t=0, x=0, v_x=v₀)

 

 

используя начальные условия получаем С₁=v₀

 

 

из начальных условий определяем С₂=0 и в результате закон движения точки имеет вид:

Пример 2.

Точка массы m движется из начального положения покоя по действием переменной силы F=kSinwt. (начальные условия - t=0, x=0, v_x=0)

 

Из начальных условий определим

 

(t=0 àC₂=0)

Получаем, что тело будет двигаться равномерно с постоянной скоростью вправо и на это движение будет накладываться периодическое "модулирующее" движение. Заметим, что составляющей "дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид:

 

Пример 3.

Точка массы m падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха R=kmv², где k-постоянная положительная величина. Найти уравнение движения точки.

Имеем ; (начальные условия - t=0, x=0, vx=0) Скорость в этом случае можно определить в зависимости от времени или от координаты, используя подстановки Последняя подстановка позволяет исключить из дифференциального уравнения время при определении скорости.

 

Используя первую подстановку получаем дифференциальное уравнение:

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей имеем:

Для того, чтобы не искать дополнительно произвольную постоянную, интегралы возьмем определенные, сохраняя верхний предел переменным для последующего интегрирования, а для нижних пределов используем начальные условия.

то есть

 

Потенциируя и решая относительно v, имеем:

 

Переходя к пределу при получаем

Для нахождения закона движения теперь имеем:

Отсюда

 

Пример 4.

Точка массы m брошена вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v₀ и движется под действием силы тяготения

Начальные условия: t=0. x=R3, v=v0   Имеем дифференциальное уравнение:

Используя подстановку получаем уравнение

 

Разделяем переменные и берем интегралы:

или ,

Откуда (*)

для определения x_max (максимальная высота подъема), положим v=0, тогда

и при ,

это выполняется для v₀=11.2 км/с (вторая космическая скорость)

 

Полученную зависимость (*) скорости точки от высоты подъема можно использовать для определения закона движения ( x=f(t) ), разделив еще раз переменные и проведя интегрирование.

 

Пример 5 (криволинейное движение точки).

Для случая криволинейного движения точки мы имеем два дифференциальных уравнения:

 

Рассмотрим движение точки массы m, входящей в воду под углом a с начальной скоростью v₀. В воде на точку действует сила сопротивления, пропорциональная скорости: , начальные условия задачи: t=0, x₀=0, y₀=0, v_x0=v₀Cosa, v_y0=v₀Sina.

Для оси х имеем или

 

(1)

Для оси y имеем уравнение

 

 

 

 

Определяя из начальных условий константу С₂ получим для координаты y закон изменения:

 

(2)

 

Исключив из уравнений (1) и (2) время, мы можем в принципе получить уравнение траектории, то есть y=f(x) для движения точки в плоскости (задача для тела, брошенного под углом к горизонту) при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости.

 

Лекция 10 (динамика)

«Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы»

 

Свободные колебания системы с одной степенью свободы без трения.

В большинстве упругих систем при достаточно малых перемещениях сила упругости линейно зависит от перемещения x. Если начало отсчёта смещения x выбрать так, что при x=0: F=0, то для линейной системы F = cx, где с - коэффициент жесткости системы. Испольхуя основное уравнение динамики учитывая, что при прямолинейном движении ускорение равно второй производной от перемещения, получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы

.

 

Вид дифференциального уравнения не меняется при действии на систему постоянных сил (например, сил тяжести), если смещение тела отсчитывать от положения его статического равновесия.

 

Действительно, уравнение движения тела массой m, находящегося под действием силы тяжести и совершающего свободные колебания, имеет вид

 

,

где - удлинение пружины от силы тяжести груза.

Следовательно, слагаемые mg и cf_ст взаимно уничтожаются, и уравнение становится однородным и совпадает с уравнением свободных колебаний.

Уравнение движения одномассовой системы, совершающей крутильные свободные колебания, записывается аналогично:

,

где - угол поворота тела; J- момент инерции массы m относительно продольной оси вала; с - крутильная жесткость упругой связи.

Решение полученных дифференциальных уравнений имеет вид

,

где - угловая частота колебаний, или собственная частота; С₁ и С₂- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Обозначая смещение и скорость в начальный момент времени t₀=0 через x₀ и соответственно, после подстановки начальных условий в полученное общее решение находим постоянные интегрирования

, .

Решение уравнения можно записать иначе:

,

где ,

.

Таким образом, движение груза при свободных колебаниях одномассовой системы без трения описывается синусоидальным законом с амплитудой колебаний А, периодом и начальной фазой .

Период колебаний определяется из условия:

,

откуда

.

Число колебаний в единицу времени (техническая частота, измеряемая в герцах):

 

.

 

В практическом отношении иногда оказывается удобным связать частоту и период колебаний со статической деформацией f_ст упругой связи, вызванной силой, равной весу груза,

.

При этом справедливы формулы:

; ;

Так как величина f_ст введена формально, то очевидна их справедливость независимо от того, совпадает или не совпадает направление силы тяжести с направлением движения груза.

Для анализа свободных колебаний удобно использовать изображение закона движения системы на фазовой плоскости, или так называемый фазовый портрет. Фазовым портретом движенияназывается графическое изображение зависимости скорости движения от смещения. Для получения фазового портрета найдем скорость, для чего продифференцируем найденное решение по t:

 

Уравнение движения и выражение для скорости представляют собой уравнение фазовой траектории в параметрической форме. Исключая параметр , получим

.

Полученное уравнение является уравнением эллипса с полуосями, равными А и . Верхняя полуплоскость соответствует возрастанию смещения, нижняя - убыванию. Размеры эллипса зависят от начальных условий, определяющих амплитуду колебаний А.

 

Все возможные свободные колебания одномассовой системы изображаются семейством эллипсов, каждый из которых соответствует определённому уровню энергии. Чем больше амплитуда колебаний А, тем больше полная энергия системы. Если значения энергии откладывать по оси , перпендикулярной чертежу, то получится поверхность (параболоид), нижняя точка которой соответствует нулевому энергетическому уровню. Точка, изображающая значения смещения и скорости в данный момент времени (изображающая точка), перемещается по горизонтали этой поверхности.

Если изменить масштаб построения фазовой траектории и откладывать по оси абсцисс х, а по оси ординат - , то фазовая траектория будет представлять собой окружность радиусом А, причём изображающая точка будет равномерно двигаться по этой окружности с угловой скоростью, равной частоте собственных колебаний .

При наличии рассеяния энергии изображающая точка перемещается по спирали, приближаясь к началу координат.

Примеры

Пример 1. К цилиндрической пружине подвешен груз массой m = 2 кг = 2 . Груз может перемещаться только в вертикальном направлении. Определить частоту собственных колебаний груза без учёта и с учётом массы пружины. Средний диаметр пружины D = 6 см; диаметр проволоки пружины d = 0,6 см; число витков n = 15; плотность материала ; модуль сдвига G =.