Математическая постановка задачи управления

Рис.7

Он состоит из последовательно – параллельно соединенных компрессоров 1 4 (насосов, нагнетателей и т.д.), число которых конечно и необязательно равно 4. Входной и выходной продукты - здесь газ. Вектора энергетических потребностей и вспомогательных материалов здесь для простоты опущены из рассмотрения.

Ели речь идет о весовом соотношении, то должно быть обеспечено =при потребном постоянном давлении .

Потребление газа меняется в зависимости от сезона, времени суток, включения и выключения потребителей и т.д. т.е. - случайная переменная величина.

На этом производство I типа имеет место подсистемы управления заменой и ремонтом оборудования и подсистему управления технологическим процессом (вывод на режим и стабилизация работы каждой машины). Кроме того, здесь еще возникает еще задача управление распределение мощности и задача оперативного управления. Дело в том, что при переменном и потребном постоянном давлении мощности станции должна быть переменной. Мощность станции можно заменить вариацией количества работающих машин, т.е. структурой станции, и их режима работы.

Оптимизация структуры системы математически пока разработана слабо, поэтому для решения этой задачи нужна посистема оперативного управления, нередко включающая в свой состав оператора и зачастую базирующаяся в большой части на эвристических методах (Нечеткая логика).

После того, как структура станции выбрана, встаёт задача распределения мощностей среды выбранных агрегатов. Это вариационная задача и составляет предмет подсистемы управления распределение мощностей.

В производстве II -типаимеют место те же 4 подсистемы управления, что и в производстве I типа, и, кроме того, предшествует ещё одна подсистема – подсистема управления смесями , т.е. нужно обеспечить такую смесь входных компонентов, чтобы готовый продукт отвечал заданному качеству и сбыточная стоимость его была бы минимальной. Далее данная задача будет рассмотрена более подробно.

Мы уже рассматривали пример производства III –типа т.е. металлургическое производство. Помимо 5 подсистем управления, с которыми встречались в производствах I и II, в производстве III имеют место еще 3 подсистемы.

В этом производстве нередки случаи, когда для одной и той операций1 используется различное оборудование. Например, некоторой марку стали можно выплавлять в мартеновских, электродуговых, индукционных печах, имеющихся в сталеплавильном цехе , понятно, с разными экономическими затратами и поэтому по неодинаковой цене. Встает вопрос – как загрузить мощности цеха, чтобы обеспечить всей продукции была минимальной. Эту задачу решает подсистема использования мощностей.

Совершенно очевидно, что материальные потоки предметов труда для чугунно - литейного производства. И прокатки должны быть согласованы.

Так же известно, что для обеспечения бесперебойности производства создаются склады сырь и готовой продукции, т.е. делаются определенные запросы. Проблема запасов опять двойственна проблема. С одной стороны они страхуются от возможных осложнений с поставками сырья и обеспечивают бесперебойную работу, с другой запасы – это омертвленный капитал. Следовательно, необходимо 7 подсистем – подсистем управления запасами.

Поскольку на производстве III типа имеется разветвленная сеть потоков предметов труда, то возникает так называемая транспортная задача – задача рациональной организации перевозок предметов труда. Эту задачу решает 8 подсистема – подсистема управления транспортными потоками.

В производстве IV типа имеют место в общем случае те же 8 подсистем управления, что и в производстве III типа.

 

Как было сказано ранее, что для обеспечения нормального функционирования производства нужны, в общем случае, 8 подсистем управления. В зависимости от конкретной ситуации та или иная посистема имеет дело с различными постановками задач управления. Допустим, в одном случае, для одного производства, подсистема замены и ремонта оборудования решает задачу нахождения экстремума функции одной переменной , в другом, для другого производства – такая же подсистема решает задачу линейного или нелинейного программирования.

Можно, однако, все многообразие задач решаемых подсистемой управления свести к довольно ограниченному кругу типовых задач управления. Отметим следующие 6 типов задач, охватывающих большинство из практически встречающихся задач управления производством, за исключение задач стохастического и щелоченного применения и задач массового обслуживания.

1. Нахождение экстремума функции одной переменной без ограничений.

Постановка задачи. Найти extr fна открытом интервале (а, в) изменение аргумента (Унимодальная функция).

2. Нахождение экстремума функции одной переменной с ограничениями.

Постановка задачи. Найти extr fна замкнутом (т.е. включая граничные точки) отрезке [а, в] изменения аргумента х, включая и граничные точки.

3. Нахождение экстремума функции многих переменных без ограничений.

Постановка задачи. Найти extr f , где , на открытом множестве . Иными словами на векторный аргумент не накладывается никаких ограничений.

4. Нахождение экстремума функции многих переменных с ограничениями.

Постановка задачи. Найти extr функции f , где , на замкнутом множестве . Замкнутое множество обычно задается системой управлений или неравенств, связывающих аргументы .

Эта задача 4 разбивается на ряд частных задач.

 

Классическая зада Лагранжа.

Постановка задачи. Найти extr функции f на замкнутом множестве , т.е. на ограничениях типа равенств (иными словами, ограничения здесь суть управления).

Здесь - мерный вектор аргументов.

m – мерная векторная функция, т.е. m- управлений ограничений (иногда говорят управлений связи). Класс задача Лагранжа имеет аналитическое решение.

Нахождение extr функциймногих переменных на ограничениях, заданных как равенствами, так и неравенствами.

Постановка задачи. Найти extr функции многих переменных f на замкнутом множестве 0

0

0

Например, это замкнутое множество может иметь следующий частный вид:

здесь n-4, m-3

Задача является неклассической и называется задачей нелинейного программирования. В общем случае она решается только численным методом.

Задача нелинейного программирования .

Постановка задачи. Найти extr квадратичной функции многих переменных ( const)на линейных ограничениях

, при .

5. Нахождение extr функционала многих переменных на уравнениях связи без дополнительных ограничений на переменные.

Постановка задачи. Найти вектор , доставляющий extr функционалу

на уравнениях связи

t=0 : t=T,

Если на переменные и ограничений нет дополнительных ограничений, то получается вариационная классическая задача оптимального управления, имеющая аналитическое решение.

6. Нахождение extr функции многих переменных на уравнениях связи сз дополнительными ограничениями на переменные.

Постановка задачи. Найти вектор , доставляющий extr функционалу на уравнениях связи

t=0 : t=T,

При дополнительных ограничениях на

Это неклассическая вариационная задача оптимального управления и в общем случае не имеет аналитического решения .