Векторное произведение векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым, какой – третьим.

Рассмотрим ортонормированные базисы, приведенные к общему началу. Тогда возникает вопрос: можно ли все эти базисы свести к одному при помощи вращения вокруг общей точки? Оказывается, что все ортонормированные базисы распадаются на два класса: правый и левый.

Тройка векторов называется правой, если эти вектора, приведенные к одному началу, располагаются также как расставленные пальцы правой руки: большой палец – по первому вектору, указательный – по второму, средний – по третьему. Если смотреть во внутрь телесного угла, образованного этими векторами, то движение от первого ко второму, от второго к третьему будет совершаться против часовой стрелки. Обычно на практике рассматриваются только правые системы векторов.

3
Правая тройка	Левая тройка

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим условиям:

а) |c| = |a|×|b|×sinj,

б) вектор с перпендикулярен к обоим векторам a и b,

в) упорядоченная тройка a,b,c – правая.

Векторное произведение обозначается символом a´b = [a,b].

Замечание. Отметим, что понятие векторного произведения также возникло в механике. Пусть F – сила приложенная к точке А, а r – радиус-вектор точки А относительно точки О. Тогда вектор M=r´F представляет собой момент силыотносительно точки О.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. a´b = –b´a (антикоммутативность),

2^о. k(a´b) = (ka)´b = a´(kb),

3^o. a´(b+c) = a´b + a´c,

4^o. a´a = 0.

Пример 7.7. Вычислить выражение |(2a+b)´(a+2b)|, если |a|=1, |b|=2 и j = a^b =2p/3.

Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства векторного произведения векторов:

(2a+b)´(a+2b) = 2a´a+b´a+4a´b+2b´b = 0–a´b+4a´b+0 = 3a´b.

Далее из определения векторного произведения следует:

|(2a+b)´(a+2b)| = |3a´b| =3|a||b|sinj = 3×1×2×sin120⁰ = 3Ö3. â

Из определения векторного произведения векторов, в частности, следует, что необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения:

a||b Û a´b = 0

Различные комбинации векторных произведений базисных векторов i, j, k можно записать следующим образом:

i´i = j´j = k´k = 0, i´j =×k, j´k×= i, k´i = j.

Пример 7.8. Упростить выражение i´(j+k)+j´(i+k).

Решение. Раскроем скобки и затем учтем соотношения между базисными векторами

i´(j+k)+j´(i+k) = i´j+i´k+j´i+j´k = k–j–k+i = i–j. â

Теорема 7.3. Если два вектора a и b определены своими координатами в ортонормированном базисе: a={x₁, y₁, z₁},b={x₂, y₂, z₂}, то векторное произведение вычисляется по формуле:

Доказательство. Действительно, учитывая, что a=x₁i+y₁j+z₁k, b=x₂i+y₂j+z₂k, получим

a´b = (x₁i + y₁j + z₁k)´(x₂i + y₂j +z₂k) = = (y₁z₂–z₁y₂)i – (x₁z₂–z₁x₂)j+(x₁y₂–y₁x₂)k.

Далее, учитывая свойства определителей, получим искомую формулу. &

Геометрический смысл векторного произведения векторов a и b заключается в том, что модуль векторного произведения |a´b| равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вопрос. При каком условии справедливо равенство (a´b)² = a²b².